COURS 28
Fonctions de deux variables réelles
• Inégalité des accroissements finis :
∀t ∈ [a, b] f
(t) M ⇒⇒ f ( b ) − f ( a ) M | b − a |
• Formule de Taylor avec reste intégral et l’inégalité de Taylor-Lagrange.
• Développements limités.
Ces propriétés sont utiliséespour l’étude des courbes paramétrées. Elles sont très
simplescar elles se ramènent aux propriétés des fonctions composantes x et y à
valeurs réelles.
D’autrepart, ces propriétés s’étendent sans difficulté aux fonctions d’une variable
réelle àvaleurs dans R
n
pourtout n ∈ N
∗
.
3 Fonctionsdéfinies sur une partie
de R
2
:c ontinuité et limites
On rencontre en revanched es difficultés tout àf ait nouvelles lorsqu’on tente
d’étendre les notions précédentes aux fonctions définies sur une partie D de R
2
,
àvaleurs dans R ou dans R
n
(appelées fonctions de deux variables).
3.1 • Applications partielles
Soit f une fonction de R
2
dans R, définiesur une partie D de R
2
.
On peutsefigurer f comme définissantune «altitude »entout point de D et
donc la représenter par une surface.
En un point (x 0 , y 0 ) ∈ D, on peut considérer les deux fonctions d’une seule
variable réelle :
x
→ f (x, y 0 )( première application partielle)
y
→ f (x 0 , y)( deuxième application partielle)
z
y
x
x 0
y 0
M 0
Doc. 3 Fonction de R
2 dans R
Il faut bien noter que ces applications ne caractérisent pas complètement la fonction
f au voisinage de (x 0 , y 0 ). Elles ne donnent des informations que dans deux
directions privilégiées(Doc. 3).
Par exemple si f (x, y) =
xy
x 2 +y 2 , les deux applications partielles au point (0, 0)
sont nulles. Cependant ∀α
= 0 f (α, α) =
1
2
, si bienque f est loin d’être nulle
au voisinagede( 0 , 0)...
Les applicationspartielles ne jouent donc pas du tout le même rôle que les fonctions
composantes pour les fonctions vectorielles.
3.2 • Continuité
Soit f une fonction de R
2
dans R ,définie sur un ouvert U de R
2
et a 0 un
pointdonné de U . f estdite continue en a 0 si :
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀u ∈ U u − a 0 α =⇒| f( u ) − f( a 0 ) |ε
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