Fonctions de deux variables réelles
COURS
28
1 L’espace R
2
Rappelonsque R
2
est un espace vectoriel réel, muni d’un produit scalaire défini
par:
u=(x,y); v=(x
,y
) ⇒ u·v=xx
+ yy
et de la norme euclidienne définie par :
u = (x, y) ⇒⇒ u =
x 2 + y 2
On peut étendre à R
2
certaines notions connuesdans R ou C en remplaçant
la valeur absolue ou le module par la norme euclidienne. Par exemple :
• On appelle distance euclidienne de deuxé léments de R
2
la normed el eur
différence : d(u, v) = u − v .
• Une partie A de R
2
est dite bornée s’ilexiste un réel M tel que pour tout
u élémentde A: uM.
• Étant donné un élément u de R
2
et un réel strictement positif r, on appelle
boule ouverte de centre u de rayon r l’ensemble des éléments de R
2
dont
la distance à u est strictement inférieure à r (Doc. 1) :
B(u, r) = {v ∈ R
2
, v − u < r}
• Une partie A de R
2
estdite ouverte si pourtout u élémentde A, il existe
un réel strictement positif ε tel que la bouleouverte B(u, ε)s oit incluse dans
A (on dit aussi que A estunouvert) (Doc. 2).
Exemples : Un demi-plan ouvert(droite frontière non comprise), un disque ouvert
(cercle frontière non compris), sont des ouverts.
y
x
O
a
e
Doc. 1 Boule ouverte.
Notons qu’une réunion quelconque d’ouverts est ouverte, et qu’une intersection
finie d’ouverts est ouverte (cf. exercice 3).
a
ε
A
Doc. 2 Partie ouverte.
Pour s’entraîner:ex. 2à4
2 Fonctions d’une variable réelle
àvaleurs dans R
2
En identifiant R
2
et C, on peut considérer une fonction àv aleurs dans R
2
(dite fonction vectorielle)comme une fonction àvaleurs complexes. Nous avons
déjà étendu àcetype de fonctions les notions suivantes :
• Continuité. Si f est l’application t
→
x(t), y(t)
, f est continue en t 0 si
et seulementsiles fonctions réelles x et y sont continues en t 0 .
• Limites. f apour limite = ( 1 ,, 2 )e nt 0 si et seulement si x apour limite
1 et y apour limite 2 en t 0 .
• Dérivation. f estdérivable en t 0 si et seulement si x et y sont dérivables en
t 0 et f
(t 0 ) =
x
(t 0 ), y
(t 0 )
.
• Intégration. Si f est continuepar morceaux sur [a, b]:
[ a , b ]
f =
[ a , b ]
x,
[ a , b ]
y
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
491
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1 L’espace R
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Rappelonsque R
2
est un espace vectoriel réel, muni d’un produit scalaire défini
par:
u=(x,y); v=(x
,y
) ⇒ u·v=xx
+ yy
et de la norme euclidienne définie par :
u = (x, y) ⇒⇒ u =
x 2 + y 2
On peut étendre à R
2
certaines notions connuesdans R ou C en remplaçant
la valeur absolue ou le module par la norme euclidienne. Par exemple :
• On appelle distance euclidienne de deuxé léments de R
2
la normed el eur
différence : d(u, v) = u − v .
• Une partie A de R
2
est dite bornée s’ilexiste un réel M tel que pour tout
u élémentde A: uM.
• Étant donné un élément u de R
2
et un réel strictement positif r, on appelle
boule ouverte de centre u de rayon r l’ensemble des éléments de R
2
dont
la distance à u est strictement inférieure à r (Doc. 1) :
B(u, r) = {v ∈ R
2
, v − u < r}
• Une partie A de R
2
estdite ouverte si pourtout u élémentde A, il existe
un réel strictement positif ε tel que la bouleouverte B(u, ε)s oit incluse dans
A (on dit aussi que A estunouvert) (Doc. 2).
Exemples : Un demi-plan ouvert(droite frontière non comprise), un disque ouvert
(cercle frontière non compris), sont des ouverts.
y
x
O
a
e
Doc. 1 Boule ouverte.
Notons qu’une réunion quelconque d’ouverts est ouverte, et qu’une intersection
finie d’ouverts est ouverte (cf. exercice 3).
a
ε
A
Doc. 2 Partie ouverte.
Pour s’entraîner:ex. 2à4
2 Fonctions d’une variable réelle
àvaleurs dans R
2
En identifiant R
2
et C, on peut considérer une fonction àv aleurs dans R
2
(dite fonction vectorielle)comme une fonction àvaleurs complexes. Nous avons
déjà étendu àcetype de fonctions les notions suivantes :
• Continuité. Si f est l’application t
→
x(t), y(t)
, f est continue en t 0 si
et seulementsiles fonctions réelles x et y sont continues en t 0 .
• Limites. f apour limite = ( 1 ,, 2 )e nt 0 si et seulement si x apour limite
1 et y apour limite 2 en t 0 .
• Dérivation. f estdérivable en t 0 si et seulement si x et y sont dérivables en
t 0 et f
(t 0 ) =
x
(t 0 ), y
(t 0 )
.
• Intégration. Si f est continuepar morceaux sur [a, b]:
[ a , b ]
f =
[ a , b ]
x,
[ a , b ]
y
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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