Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Une isométrie conserve les angles.
b) La composée de deux rotations du plan est une rotation
ou une translation.
c) La composée de deux rotations de l’espace estune rotation ou une translation.
d) Les réflexions engendrent le groupe des isométries de
l’espace.
e) Toutes imilitude directe du plan estl ac omposée d’une
homothétie et d’unerotation de même centre.
Isométries
2 Le plan est rapporté àu nr epère orthonormé direct.
Déterminerl an ature et les éléments caractéristiques des
applications définies analytiquement par ce qui suit.
a)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x
=
3
5
x −
4
5
y +4
y
=
4
5
x+
3
5
y−2
b)
⎧
⎨
⎩
x
= −y +1
y
=−x+2
c)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x
=
√ 3
2
x −
1
2
y +4−
√ 3
y
=
1
2
x+
√ 3
2
y+3−2
√ 3
d)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x
=
√ 2
2
x +
√ 2
2
y +
√
2 − 1
y
=
√
2
2
x −
√ 2
2
y − 1
3 Soit ABC un triangle quelconque. On désignepar :
R A la rotation de centre A d’angle (
−→
AB,
−→
AC );
R B la rotation de centre B d’angle (
−→
BC ,
−→
BA);
R C la rotation de centre C d’angle (
−→
CA,
−→
CB).
Déterminer la composée R A ◦ R B ◦ R C .
4 Montrer que tout sous-groupe fini du groupe des déplacements du plan est commutatif.
5 L’espace est rapporté àunrepère orthonormé direct.
Déterminerl an ature et les éléments caractéristiques des
applications définies analytiquement par :
a)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x
=
1
3
(2x − y +2z+2)
y
=
1
3
(2x +2y−z−1)
z
=
1
3
(−x +2y+2z−1)
b)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x
=
1
3
(x +2y−2z+6)
y
=
1
3
(2x + y +2z−6)
z
=
1
3
(−2x +2y+z+6)
c)
⎧
⎨
⎩
x
= y +1
y
=z−2
z
=x+3
d)
⎧
⎨
⎩
x
= −y +1
y
=−z+2
z
=−x+3
6 Soit R une rotation d’axe D, distinctedel’identité.
1) Déterminer les droites globalement invariantes par R.
2) En déduire l’ensemble des rotations qui commutent
avec R.
Similitudes directes du plan
7 ABC étant un triangle quelconque, on désigne par
S la similitude directe de centre A qui transforme B en
C. Soit M un pointducercle circonscrit à ABC et M
son image par S. Démontrer que les points M , C et M
sont alignés.
8 ABC étant un triangle quelconque, on désigne
par S 1 , S 2 , S 3 less imilitudes directes de centres respectifs
A, B, C telles que S 1 (B) = C , S 2 (C) = A et S 3 (A) = B.
Étudier les composées S 1 ◦ S 2 ◦ S 3 et S 3 ◦ S 2 ◦ S 1 .
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