Transformations du plan et de l’espace
Exercice résolu
UTILISERUNE ROTATION
Soit ABC un triangle équilatéral. Démontrerque pour tout point Md uplan, MA MB + MC .
Déterminer l’ensemble des points vérifiant l’égalité.
Conseils
Solution
Un triangle équilatéral estc aractérisé
par l’existence d’une rotation d’angle
π
3
fixant l’un des sommets et associant les
deux autres.
Désignonspar R la rotation de centre A qui transforme B en C ;s oit
M un pointq uelconque du plan, et M
son image par R. La rotation
R transforme le segment[ BM ]e n[ CM
], d’où BM = CM
. Écrivons
l’inégalité triangulaire dansletriangle CMM
(Doc. 10) :
MM
MC + CM
Comme le triangle AMM
est équilatéral, MM
= MA. On ad onc
bien :
MA MC + MB
L’égalitée st vérifiée si et seulement si les points M , C , M
sonta lignés
dans cet ordre, c’est-à-dire si :
(
−−→
MC ,
−→
MA) =
π
3
(1)
MC MM
(2)
Traduire géométriquement les conditions(1) et (2).
D’après le théorème de l’angle inscrit, la condition (1) estr éalisée si et
seulement si M appartientaugrand arc (AC )d ucercle Γ circonscrit à
ABC .
La condition(2) équivaut à MC MA : M est du même côtéque C
par rapport àlamédiatrice de [AC ].
En définitive, l’ensembledes points M vérifiant MA = MB + MC est le
petit arc (BC )d ucercle Γ. (Doc. 11)
C
M
A
B
M
0
π
3
π
3
Doc. 10
C
M
A
B
M
0
π
3
π
3
Doc. 11
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