Transformations du plan et de l’espace
Le résultat suivant esttrès important dans les applications :
Théorème 6
Étant donné deux segments [AB ]e t[ A
B
]d el ongueur non nulle, il existe
une similitude directe et une seuletransformant A en A
et B en B
.
Démonstration
Soit a, b, a
, b
les affixes de A, B, A
et B
. Déterminons deux complexes
α et β tels que :
αa + β = a
αb + β = b
. On obtient:
α=
a
−b
a−b
(α =0)
et
β = a
−
a
− b
a − b
a =
ab
− a
b
a − b
J
I
A
B
B
0
A
0
u
Doc. 9 I estl’intersection du cercle
circonscrit au triangle JAA
et du cercle
circonscrit au triangle JBB
.
Géométriquement, le rapport de cette similitude est
A
B
AB
et son angle est
θ =
(
−→
AB,
−−→
A
B
); son centre I estcaractérisé par :
IA
IA
=
IB
IB
=
A
B
AB
et
(
− →
IA,
−→
IA
) =
(
− →
IB,
−→
IB
) =
(
−→
AB,
−−→
A
B
) = θ
ce qui permet de le construire par des intersections de cercles (Doc. 9).
Pour s’entraîner :ex. 7et8
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’une application estune isométrie, on peut :
• montrer qu’elle conserve les distances;
• montrer qu’elle conserve les produits scalaires ;
• montrer que c’estune application affine dont la partie linéaire est un automorphisme orthogonal ;
• montrer que c’est une application affine qui transforme un repère orthonormal en un autre.
Pourreconnaître une isométrie f donnée par son expression analytique dans un repère orthonormal :
• on vérifie avant tout que sa matrice estorthogonale ;
• on peut calculer son déterminant pour savoir s’il s’agit d’un déplacement ou d’un antidéplacement ;
• on cherche l’ensemble des vecteurs invariants pour reconnaîtrelapartie linéaire de f ;
• on cherche l’ensemble des points invariants pour reconnaître la nature et les éléments caractéristiques de f ;
• dans le cas où f n’a pasdepoints invariants, on peut décrire f comme la composée d’une isométrie fixant
un point O, et de la translation de vecteur
−−→
OO
.
Pour montrerqu’une application du plan dans lui-même estune similitude directe, on peut :
• montrer qu’elle conserve les rapports de distance et l’orientation des angles ;
• montrer que c’est la composée d’une homothétie et d’un déplacement ;
• montrer qu’elle s’exprimedans le plan complexe sous la forme z
→ az + b avec a ∈ C
∗
et b ∈ C.
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