COURS 27
Transformations du plan et de l’espace
3.2 • Similitudesdirectes du plan
Nous nous limitons dans ce paragraphe àl ’étude des similitudes directes
du plan euclidien orienté P, c’est-à-dire la composée d’une homothétie de
rapport k ∈ R
∗
+ avec une translationouune rotation.
Théorème 5
En identifiant P au plan complexe,l’ensemble des similitudes directes de P est
l’ensemble des applications :
C →
C
z
→ az + b
où a ∈ C
∗
, b ∈ C
Démonstration
Unehomothétie de centre Ω d’affixe ω, et de rapport k est représentée par :
z
→ ω + k(z − ω)
Une translation de vecteur u d’affixe u est représentée par :
z
→ z + u
Une rotationdecentre Ω d’affixe ω, et d’angle θ est représentée par :
z → ω +e
iθ
(z−ω)
Toute similitude directe estune composée de ces applications, donc elle est bien
de la forme z
→ az + b.
Réciproquement, si a = ke
i θ
avec k ∈ R
∗
+ et θ ∈ R, l’application z
→ az + b
estlacomposéedelarotation de centre O d’angle θ, de l’homothétiedecentre
O de rapport k, et de la translation dont le vecteur est l’image du complexe b.
C’est bien une similitude directe.
Corollaire5.1
Toutes imilitude directe f qui n’estp as une translation possède un point invariant unique I , appelé centre de la similitude. f est alors la composée
commutative d’unehomothétie et d’une rotation de centre I .
Démonstration
f : z
→ az + b n’est pas une translation si et seulement si a
= 1. Dans ce cas,
l’équation az + b = z admet une solution unique :
z =
b
1 − a
f adonc un point invariant unique I . En choisissant ce point comme origine,
f estreprésentée par z → az. C’estlacomposée commutative de l’homothétie
de centre I de rapport |a| et de la rotation de centre I d’angle arg(a).
Une similitude directe qui n’est pas une translation est donc caractérisée par :son
centre,son rapport et son angle.
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