Transformations du plan et de l’espace
COURS
27
APPLICATION 2
Les demi-tours engendrent le groupe des déplacements
Démontrerq ue tout déplacement de l’espacee st la composée d’au plus deux demi-tours.
–Une translation T de vecteur u est la composéede
deux demi-tours d’axes D et D
parallèles tels que
D
= t u
2
(D).
–U ne rotation R d’axe Δ, d’angle θ est la
composée de deux demi-tours d’axes D et D
perpendiculairesà Δ en un même point O, et tels que
(D, D
) =
θ
2
.
–U nv issage V d’axe Δ, d’angle θ et de vecteur
u estlacomposée d’une rotation R et d’unetranslation T , que l’on peut décomposer chacune en deux
demi-tours de la façonsuivante :
• R = s
◦ s, où s et s
sont deux demi-tours d’axes
D et D
perpendiculaires à Δ en O, et tels que
(D, D
) =
θ
2
.
• T = s
◦ s
, où s
est le demi-tour d’axe
D
= tu
2
(D
).
On en déduit V = T ◦ R = s
◦ s. V est la composée de deuxdemi-tours d’axes non coplanaires.
3 Similitudes
3.1 • Conservation desrapports de distance
Soit E un espace euclidien. On appelle similitude de E touteb ijection affine
de E dans E qui conserve les rapports de distance :quels que soient les points
A, B, C , D, distincts de E :
A
= f (A) , B
= f (B) , C
= f (C ) , D
= f (D) , =⇒
A
B
C D =
AB
CD
On en déduit que :
A
B
AB
=
C
D
CD
= k ∈ R
∗
+
Une similitude multiplie les distances par un même scalaire non nul, que l’on
appelle rapport de la similitude.Siondésigne par h une homothétiedecentre
quelconque et de rapport k, l’application g = h
−1
◦ f conserve les distances :
c’est une isométrie. f = h◦ g :t oute similitude de rapport k est la composée
d’une isométrie et d’une homothétie de rapport k.
Cette décompositionn’est pas unique. Mais
− →
f =
− →
h ◦ − → g = k − → g , si bien que la
partie linéaire de l’isométrie g est fixée. La nature de g est donc indépendante
de la décomposition.
• Si g est un déplacement, on dit que f est une similitude directe.
• Si g est un antidéplacement, on dit que f est une similitude rétrograde.
L’ensemble des similitudes et l’ensemble des similitudes directes de E sontd es
sous-groupes du groupe des bijections de E dans E, notés respectivement
Sim(E)e tS im + (E).
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
485
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APPLICATION 2
Les demi-tours engendrent le groupe des déplacements
Démontrerq ue tout déplacement de l’espacee st la composée d’au plus deux demi-tours.
–Une translation T de vecteur u est la composéede
deux demi-tours d’axes D et D
parallèles tels que
D
= t u
2
(D).
–U ne rotation R d’axe Δ, d’angle θ est la
composée de deux demi-tours d’axes D et D
perpendiculairesà Δ en un même point O, et tels que
(D, D
) =
θ
2
.
–U nv issage V d’axe Δ, d’angle θ et de vecteur
u estlacomposée d’une rotation R et d’unetranslation T , que l’on peut décomposer chacune en deux
demi-tours de la façonsuivante :
• R = s
◦ s, où s et s
sont deux demi-tours d’axes
D et D
perpendiculaires à Δ en O, et tels que
(D, D
) =
θ
2
.
• T = s
◦ s
, où s
est le demi-tour d’axe
D
= tu
2
(D
).
On en déduit V = T ◦ R = s
◦ s. V est la composée de deuxdemi-tours d’axes non coplanaires.
3 Similitudes
3.1 • Conservation desrapports de distance
Soit E un espace euclidien. On appelle similitude de E touteb ijection affine
de E dans E qui conserve les rapports de distance :quels que soient les points
A, B, C , D, distincts de E :
A
= f (A) , B
= f (B) , C
= f (C ) , D
= f (D) , =⇒
A
B
C D =
AB
CD
On en déduit que :
A
B
AB
=
C
D
CD
= k ∈ R
∗
+
Une similitude multiplie les distances par un même scalaire non nul, que l’on
appelle rapport de la similitude.Siondésigne par h une homothétiedecentre
quelconque et de rapport k, l’application g = h
−1
◦ f conserve les distances :
c’est une isométrie. f = h◦ g :t oute similitude de rapport k est la composée
d’une isométrie et d’une homothétie de rapport k.
Cette décompositionn’est pas unique. Mais
− →
f =
− →
h ◦ − → g = k − → g , si bien que la
partie linéaire de l’isométrie g est fixée. La nature de g est donc indépendante
de la décomposition.
• Si g est un déplacement, on dit que f est une similitude directe.
• Si g est un antidéplacement, on dit que f est une similitude rétrograde.
L’ensemble des similitudes et l’ensemble des similitudes directes de E sontd es
sous-groupes du groupe des bijections de E dans E, notés respectivement
Sim(E)e tS im + (E).
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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