COURS 27
Transformations du plan et de l’espace
IMPORTANT
Ce dernierc as est hors-programme.
Nous ne le donnons que pour clore
notreclassification.
b) f O estlacomposée d’une réflexion s de plan Q contenant O et d’une rotation
R d’axe Δ perpendiculaire à Q en O. Décomposons le vecteur
−−→
OO
:
−−→
OO
=
U +
V avec
U ∈
− →
Q et
V ∈
− →
Δ
On aalors :
f = t
V ◦ t
U ◦ R ◦ s
t
U ◦ R est une rotation R
d’axe D
parallèleà Δ. Cette rotation commute avec
la translation t
V dont le vecteur appartient à
− →
D ( Doc. 8).
f = R
◦ t
V ◦ s
t
V ◦ s est une réflexion s
de plan P parallèleà Q.
Doc. 8 Composée rotation-réflexion.
En définitive, f est encore la composée d’une rotation et d’une réflexion.
Tout antidéplacement de l’espace de dimension 3e st une réflexion, une réflexion glissée ou une réflexion-rotation.
Dans tous les cas, f est la composée d’une, deux, trois ou quatre réflexions.
Toute isométrie de l’espace de dimension 3est la composée d’au plus quatre
réflexions.
Tableau récapitulatif
points
déplacements
antidéplacements
invariants
E
Id E
plan
réflexion
droite
rotation
d’angle θ
= 0 , mod2 π
{ 0 }
réflexion ◦ rotation
θ
= 0m od 2π
∅
translation
réflexionglissée
de vecteur
V
= 0
V
= 0
vissage
θ
= 0m od 2π
V = 0
Pour s’entraîner :ex. 5et6
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