Transformations du plan et de l’espace
COURS
27
D
Δ
O
O
P 1 P 2
P 3
u
⎯
2
u
u
⎯
2
Doc. 4 Rotation.
b) f O est une rotation d’axe Δ passant par O, d’angle θ
= 0m od 2π.
• Si Δ ⊥ (OO
), on peut procéder commeendimension 2:
Soit P 2 le planpassant par O et orthogonal à( OO
), P 1 l’imagede P 2 par la
rotation d’axe Δ d’angle −
θ
2
, et P 3 l’image de P 2 par la translation de vecteur
−−→
OO
2
(Doc. 4). Soit s 1 , s 2 , s 3 les réflexions de plans respectifs P 1 , P 2 , P 3 .
On peut décomposer f O et t de la façon suivante :
f O = s 2 ◦ s 1
t = s 3 ◦ s 2
d’où
f = t ◦ f O = s 3 ◦ s 1
f est la composée de deux réflexions par rapport àd es plans sécants :c ’est la
rotation d’axe D = P1 ∩ P 3 et d’angle θ.
O
D
D
O
0
O 1
U
V
u
Ω
!
!
Doc. 5 Vissage.
• Si Δ n’estpas orthogonale à( OO
), on peut décomposer le vecteur
−−→
OO
:
−−→
OO
=
U +
V avec
U ∈
− →
Δ
⊥
et
V ∈
− →
Δ
( Doc. 5)
On aalors :
t = t
V ◦ t
U , d’où : f = t
V ◦ t
U ◦ f O
t
U ◦ f O est une rotation R, d’axe D parallèleà Δ et d’angle θ.
O
O
Q
P
Doc. 6 Réflexion.
f estl ac omposéed el ar otation R d’axe D et de la translation t
V dont le
vecteurappartient àladirection de D. Cette application estappelée vissage d’axe
D, d’angle θ et de vecteur
V .
(Cette composée estcommutative : f = t
V ◦ R = R ◦ t
V . )
Tout déplacement de l’espace de dimension 3e st une translation,
une rotation ou un vissage.
2) Si Det(f ) = −1( antidéplacement) :
a) f O est une réflexion de plan Q contenant O.
• Si Q ⊥ (OO
), soit P l’imagede Q par la translation de vecteur
−−→
OO
2
et
s la réflexion de plan P (Doc. 6).
On peut décomposer t en : t = s ◦ f O ;d’où l’on déduit : f = t ◦ f O = s.
f est une réflexion.
• Si Q n’est pas orthogonal à( OO
), on peut décomposer le vecteur
−−→
OO
:
O
P
Q
O
O 1
U
→
V
→
Doc. 7 Réflexionglissée.
−−→
OO
=
U +
V avec
U ∈
− →
Q
⊥
et
V ∈
− →
Q
( Doc. 7)
On aalors :
t = t
V ◦ t
U , d’où : f = t
V ◦ t
U ◦ f O
t
U ◦ f O est une réflexion s, de plan P parallèleà Q.
f estl ac omposéed el ar éflexion s de plan P et de la translation t
V dontl e
vecteur appartient àl ad irection de P. Cette application esta ppelée réflexion
glissée de plan P et de vecteur
V .
(Cette composée estcommutative : f = t
V ◦ s = s ◦ t
V .)
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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P 1 P 2
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⎯
2
u
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Doc. 4 Rotation.
b) f O est une rotation d’axe Δ passant par O, d’angle θ
= 0m od 2π.
• Si Δ ⊥ (OO
), on peut procéder commeendimension 2:
Soit P 2 le planpassant par O et orthogonal à( OO
), P 1 l’imagede P 2 par la
rotation d’axe Δ d’angle −
θ
2
, et P 3 l’image de P 2 par la translation de vecteur
−−→
OO
2
(Doc. 4). Soit s 1 , s 2 , s 3 les réflexions de plans respectifs P 1 , P 2 , P 3 .
On peut décomposer f O et t de la façon suivante :
f O = s 2 ◦ s 1
t = s 3 ◦ s 2
d’où
f = t ◦ f O = s 3 ◦ s 1
f est la composée de deux réflexions par rapport àd es plans sécants :c ’est la
rotation d’axe D = P1 ∩ P 3 et d’angle θ.
O
D
D
O
0
O 1
U
V
u
Ω
!
!
Doc. 5 Vissage.
• Si Δ n’estpas orthogonale à( OO
), on peut décomposer le vecteur
−−→
OO
:
−−→
OO
=
U +
V avec
U ∈
− →
Δ
⊥
et
V ∈
− →
Δ
( Doc. 5)
On aalors :
t = t
V ◦ t
U , d’où : f = t
V ◦ t
U ◦ f O
t
U ◦ f O est une rotation R, d’axe D parallèleà Δ et d’angle θ.
O
O
Q
P
Doc. 6 Réflexion.
f estl ac omposéed el ar otation R d’axe D et de la translation t
V dont le
vecteurappartient àladirection de D. Cette application estappelée vissage d’axe
D, d’angle θ et de vecteur
V .
(Cette composée estcommutative : f = t
V ◦ R = R ◦ t
V . )
Tout déplacement de l’espace de dimension 3e st une translation,
une rotation ou un vissage.
2) Si Det(f ) = −1( antidéplacement) :
a) f O est une réflexion de plan Q contenant O.
• Si Q ⊥ (OO
), soit P l’imagede Q par la translation de vecteur
−−→
OO
2
et
s la réflexion de plan P (Doc. 6).
On peut décomposer t en : t = s ◦ f O ;d’où l’on déduit : f = t ◦ f O = s.
f est une réflexion.
• Si Q n’est pas orthogonal à( OO
), on peut décomposer le vecteur
−−→
OO
:
O
P
Q
O
O 1
U
→
V
→
Doc. 7 Réflexionglissée.
−−→
OO
=
U +
V avec
U ∈
− →
Q
⊥
et
V ∈
− →
Q
( Doc. 7)
On aalors :
t = t
V ◦ t
U , d’où : f = t
V ◦ t
U ◦ f O
t
U ◦ f O est une réflexion s, de plan P parallèleà Q.
f estl ac omposéed el ar éflexion s de plan P et de la translation t
V dontl e
vecteur appartient àl ad irection de P. Cette application esta ppelée réflexion
glissée de plan P et de vecteur
V .
(Cette composée estcommutative : f = t
V ◦ s = s ◦ t
V .)
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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