COURS 27
Transformations du plan et de l’espace
D 2 , D 3 . On peut décomposer f O et t de la façon suivante :
f O = s 2 ◦ s 1
t = s 3 ◦ s 2
d’où
f = t ◦ f O = s 3 ◦ s 1
f est la composée de deuxréflexions d’axes sécants :c’est la rotation de centre Ω
et d’angle θ.
D 3
O
0
O
D 2
D 1
Ω
Doc. 1 Rotation.
Toutdéplacement du plan estune translation ou une rotation.
2) Si Det(f ) = −1( antidéplacement) :
f O est une réflexion,d’axe Δ passant par O.
a) Si Δ ⊥ (OO
), soit D l’image de Δ par la translation de vecteur
−−→
OO
2
, et
soit s la réflexiond’axe D (Doc. 2).
D
O
0
O
Δ
Doc. 2 Réflexion.
On peut décomposer t en : t = s ◦ f O , d’où l’on déduit f = t ◦ f O = s.
f est une réflexion d’axe D.
b) Si Δ n’estpas orthogonale à( OO
), décomposons le vecteur
−−→
OO
:
−−→
OO
=
U +
V avec
U ∈
− →
Δ
⊥
et
V ∈
− →
Δ
On aalors : t = t
V ◦ t
U , d’où : f = t
V ◦ t
U ◦ f O
D’après a), t
U ◦ f O est une réflexion s. f estlacomposéedelaréflexion s d’axe
D et de la translation t
V dont le vecteur appartientàladirection de D. Cette
application estappelée réflexion glissée d’axe D et de vecteur
V (Doc. 3).
O
0
O
V
D
Δ
U
!
!
Doc. 3 Réflexionglissée.
(Cette composée estcommutative : f = t
V ◦ s = s ◦ t
V . )
Tout antidéplacement du plan estune réflexion ou une réflexion glissée.
Dans tous les cas, f est la composée d’une, deux ou trois réflexions.
Toute isométrie du plan est la composée d’au plus trois réflexions.
Pours’entraîner :ex. 2à4
2.3• Isométries de l’espace de dimension 3
Soit f uneisométrie de l’espace euclidien E de dimension 3. Soit O un point
quelconque de E, O
= f (0) et t la translation de vecteur
−−→
OO
. L’application
f O = t
−1
◦ f estune isométrie de même partie linéaire que f et laissant le point
O invariant. On peut l’identifieravec l’endomorphisme orthogonal
− →
f ∈ O (
− →
E ) ,
c’est-à-dire une rotation, une réflexion ou la composée d’une rotation et d’une
réflexion. f est donc la composée de cetteapplication avec une translation.
1) Si Det(f ) = +1 (déplacement) :
a) f O = Id E , f = t , f est une translation ;
482
Transformations du plan et de l’espace
D 2 , D 3 . On peut décomposer f O et t de la façon suivante :
f O = s 2 ◦ s 1
t = s 3 ◦ s 2
d’où
f = t ◦ f O = s 3 ◦ s 1
f est la composée de deuxréflexions d’axes sécants :c’est la rotation de centre Ω
et d’angle θ.
D 3
O
0
O
D 2
D 1
Ω
Doc. 1 Rotation.
Toutdéplacement du plan estune translation ou une rotation.
2) Si Det(f ) = −1( antidéplacement) :
f O est une réflexion,d’axe Δ passant par O.
a) Si Δ ⊥ (OO
), soit D l’image de Δ par la translation de vecteur
−−→
OO
2
, et
soit s la réflexiond’axe D (Doc. 2).
D
O
0
O
Δ
Doc. 2 Réflexion.
On peut décomposer t en : t = s ◦ f O , d’où l’on déduit f = t ◦ f O = s.
f est une réflexion d’axe D.
b) Si Δ n’estpas orthogonale à( OO
), décomposons le vecteur
−−→
OO
:
−−→
OO
=
U +
V avec
U ∈
− →
Δ
⊥
et
V ∈
− →
Δ
On aalors : t = t
V ◦ t
U , d’où : f = t
V ◦ t
U ◦ f O
D’après a), t
U ◦ f O est une réflexion s. f estlacomposéedelaréflexion s d’axe
D et de la translation t
V dont le vecteur appartientàladirection de D. Cette
application estappelée réflexion glissée d’axe D et de vecteur
V (Doc. 3).
O
0
O
V
D
Δ
U
!
!
Doc. 3 Réflexionglissée.
(Cette composée estcommutative : f = t
V ◦ s = s ◦ t
V . )
Tout antidéplacement du plan estune réflexion ou une réflexion glissée.
Dans tous les cas, f est la composée d’une, deux ou trois réflexions.
Toute isométrie du plan est la composée d’au plus trois réflexions.
Pours’entraîner :ex. 2à4
2.3• Isométries de l’espace de dimension 3
Soit f uneisométrie de l’espace euclidien E de dimension 3. Soit O un point
quelconque de E, O
= f (0) et t la translation de vecteur
−−→
OO
. L’application
f O = t
−1
◦ f estune isométrie de même partie linéaire que f et laissant le point
O invariant. On peut l’identifieravec l’endomorphisme orthogonal
− →
f ∈ O (
− →
E ) ,
c’est-à-dire une rotation, une réflexion ou la composée d’une rotation et d’une
réflexion. f est donc la composée de cetteapplication avec une translation.
1) Si Det(f ) = +1 (déplacement) :
a) f O = Id E , f = t , f est une translation ;
482