Transformations du plan et de l’espace
COURS
27
2 Étude des isométries du plan
et de l’espace
2.1 • Compositiondes réflexions
Soit s 1 et s 2 deux réflexions du plan euclidien, d’axes respectifs D 1 et D 2 .
• Si D 1 et D 2 sont parallèles, s 1 et s 2 ont la même partielinéaire :réflexion
vectorielle par rapport àl ad irection de D 1 et D 2 ;e lles sont donc égales à
une translation près : s 2 = t ◦ s 1 , d’où s 2 ◦ s 1 = t, où t est la translationde
vecteur 2
−− −→
O 1 O 2 , avec O 1 ∈ D 1 , O 2 ∈ D 2 , (O 1 O 2 ) ⊥ D 1 .
La composée de deuxr éflexions du plan d’axes parallèles estu ne
translation.
Réciproquement, toute translation de vecteur u est la composée de deux
réflexions d’axes orthogonaux à u et imagel’un de l’autre par la translation de
vecteur
u
2
.
• Si D 1 et D 2 sont sécantes en un point O, on peut identifier s 1 et s 2 à
leurs parties linéaires, dont la composée estu ne rotation vectorielle d’angle
θ = 2(D 1 , D 2 ). s 2 ◦ s 1 est la rotation de centre O d’angle θ.
La composée de deux réflexions du plan d’axes sécants est une rotation.
Réciproquement, toute rotation de centre O d’angle θ est la composée de
deux réflexions d’axes sécants en O et image l’un de l’autre par la rotation
d’angle
θ
2
.
Ces résultats se généralisent àl ’espace de dimension 3:l ac omposée de deux
réflexions par rapport àd es plans parallèles estu ne translation ;l ac omposée de
deux réflexions par rapport àd es plans sécants est une rotation, dont l’axe est
l’intersection des deux plans.
2.2 • Isométries du plan
Soit f une isométrie du plan euclidien P. Soit O un point quelconque de P,
O
= f (0) et t la translation de vecteur
−−→
OO
. L’application f O = t
−1
◦ f estune
isométrie de même partie linéaire que f et laissant le point O invariant. On peut
l’identifier avec l’endomorphisme orthogonal
− →
f , c’est-à-dire une rotation ou une
réflexion. f est donc la composée de cette application avec une translation.
1) Si Det(f ) = +1 (déplacement) :
a) f O = Id E , f = t , f est une translation ;
b) f O est une rotation de centre O, d’angle θ = 0m od 2π.
Soit D 2 la droite passantpar O et orthogonale à( OO
), D 1 l’imagede D 2
par la rotation de centre O d’angle −
θ
2
, et D 3 l’image de D 2 par la translation
de vecteur
−−→
OO
2
(Doc. 1). Soit s 1 , s 2 , s 3 les réflexions d’axes respectifs D 1 ,
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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2 Étude des isométries du plan
et de l’espace
2.1 • Compositiondes réflexions
Soit s 1 et s 2 deux réflexions du plan euclidien, d’axes respectifs D 1 et D 2 .
• Si D 1 et D 2 sont parallèles, s 1 et s 2 ont la même partielinéaire :réflexion
vectorielle par rapport àl ad irection de D 1 et D 2 ;e lles sont donc égales à
une translation près : s 2 = t ◦ s 1 , d’où s 2 ◦ s 1 = t, où t est la translationde
vecteur 2
−− −→
O 1 O 2 , avec O 1 ∈ D 1 , O 2 ∈ D 2 , (O 1 O 2 ) ⊥ D 1 .
La composée de deuxr éflexions du plan d’axes parallèles estu ne
translation.
Réciproquement, toute translation de vecteur u est la composée de deux
réflexions d’axes orthogonaux à u et imagel’un de l’autre par la translation de
vecteur
u
2
.
• Si D 1 et D 2 sont sécantes en un point O, on peut identifier s 1 et s 2 à
leurs parties linéaires, dont la composée estu ne rotation vectorielle d’angle
θ = 2(D 1 , D 2 ). s 2 ◦ s 1 est la rotation de centre O d’angle θ.
La composée de deux réflexions du plan d’axes sécants est une rotation.
Réciproquement, toute rotation de centre O d’angle θ est la composée de
deux réflexions d’axes sécants en O et image l’un de l’autre par la rotation
d’angle
θ
2
.
Ces résultats se généralisent àl ’espace de dimension 3:l ac omposée de deux
réflexions par rapport àd es plans parallèles estu ne translation ;l ac omposée de
deux réflexions par rapport àd es plans sécants est une rotation, dont l’axe est
l’intersection des deux plans.
2.2 • Isométries du plan
Soit f une isométrie du plan euclidien P. Soit O un point quelconque de P,
O
= f (0) et t la translation de vecteur
−−→
OO
. L’application f O = t
−1
◦ f estune
isométrie de même partie linéaire que f et laissant le point O invariant. On peut
l’identifier avec l’endomorphisme orthogonal
− →
f , c’est-à-dire une rotation ou une
réflexion. f est donc la composée de cette application avec une translation.
1) Si Det(f ) = +1 (déplacement) :
a) f O = Id E , f = t , f est une translation ;
b) f O est une rotation de centre O, d’angle θ = 0m od 2π.
Soit D 2 la droite passantpar O et orthogonale à( OO
), D 1 l’imagede D 2
par la rotation de centre O d’angle −
θ
2
, et D 3 l’image de D 2 par la translation
de vecteur
−−→
OO
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(Doc. 1). Soit s 1 , s 2 , s 3 les réflexions d’axes respectifs D 1 ,
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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