COURS 27
Transformations du plan et de l’espace
Soit f uneisométrie, de partie linéaire
− →
f ;o nnote G
, A
1 , ··· ,A
n les images
par f des points G, A 1 , ··· ,A n . On a:
n
i = 1
α i
− →
f
−−→
GA i
= 0
c’est-à-dire :
n
i=1
α i
−−→
G
A
i = 0
ce qui signifie que G
est le barycentre du système {(A
1 , α 1 ), ··· ,(A
n ,α n )}.
De nombreuses configurations de points peuvent se traduire en termes de barycentres. Elles sont conservéesp ar une isométrie. Par exemple, ABCD est un
parallélogramme si et seulement si D est le barycentre de {(A, −1), (B, 1),
(C , 1)} ;d onc l’image d’un parallélogramme par une isométrie estunparallélogramme.
APPLICATION 1
Groupe des isométries conservant unefigure
Soit Eu nespace vectoriel euclidien, et Fu nensemble
finidepoints de E. Il estclair que l’ensemble desisométries conservant F( c’est-à-dire telles que l’image de tout
point de Fs oit un point de F)est un sous-goupe du
groupe Is(E), que l’on peut noter Is(F). Toute isométrie
conservant Fc onserve l’isobarycentre Od es points de
F ; ainsi le groupe Is(F) ne contient aucune translation.
Exemples :
1) F est un triangle équilatéral du plan. Is(F) est
constitué des trois réflexions par rapport aux médiatrices des côtés, et des trois rotations de centre O
d’angle
2kπ
3
avec k ∈{−1,0,1} (dont l’identité) ;
CardIs(F) = 6.
2) F estuncube de l’espace.
Cherchons d’abordl es déplacements conservant F .
Combien ye na -t-il ?P our spécifier la position d’un
dé cubique posé sur une table, on doit préciser laquelle
des six faces estsur le dessus, puis celle des quatre faces
latérales qui est face àvous. On doit donc trouver 24
déplacementsl aissant globalement le cube invariant.
Il ya:
• l’identité ;
• pour chaque paire d’arêtes opposées, le demi-tour
dont l’axe est la médiatrice de ces arêtes ;
• pour chaque paire de faces opposées, trois rotations
d’angles
kπ
2
( k ∈{ 1 ,2 ,3 }), dont l’axe joint les
centres de ces faces ;
• pour chaque diagonale, deux rotationsd ’angles
2kπ
3
( k ∈{ − 1 ,0 ,1 }), ayant pour axe cette diagonale.
Soit au total 24 déplacements ;i ln ’y en ad onc pas
d’autres.
Prenons une réflexion s conservant le cube (par
exemplepar rapport au plan formé par deux arêtes opposées). L’application f
→ s ◦ f est une bijection de
l’ensemble des déplacements conservant le cube dans
l’ensemble des antidéplacements le conservant. Ainsi,
il yaé galement 24 antidéplacements conservant le
cube (vous dénombrerez facilement 9r éflexions ;i ly
aaussi 15 composées rotation-réflexion plus difficiles
àvoir). Card Is(F) = 48.
480
Transformations du plan et de l’espace
Soit f uneisométrie, de partie linéaire
− →
f ;o nnote G
, A
1 , ··· ,A
n les images
par f des points G, A 1 , ··· ,A n . On a:
n
i = 1
α i
− →
f
−−→
GA i
= 0
c’est-à-dire :
n
i=1
α i
−−→
G
A
i = 0
ce qui signifie que G
est le barycentre du système {(A
1 , α 1 ), ··· ,(A
n ,α n )}.
De nombreuses configurations de points peuvent se traduire en termes de barycentres. Elles sont conservéesp ar une isométrie. Par exemple, ABCD est un
parallélogramme si et seulement si D est le barycentre de {(A, −1), (B, 1),
(C , 1)} ;d onc l’image d’un parallélogramme par une isométrie estunparallélogramme.
APPLICATION 1
Groupe des isométries conservant unefigure
Soit Eu nespace vectoriel euclidien, et Fu nensemble
finidepoints de E. Il estclair que l’ensemble desisométries conservant F( c’est-à-dire telles que l’image de tout
point de Fs oit un point de F)est un sous-goupe du
groupe Is(E), que l’on peut noter Is(F). Toute isométrie
conservant Fc onserve l’isobarycentre Od es points de
F ; ainsi le groupe Is(F) ne contient aucune translation.
Exemples :
1) F est un triangle équilatéral du plan. Is(F) est
constitué des trois réflexions par rapport aux médiatrices des côtés, et des trois rotations de centre O
d’angle
2kπ
3
avec k ∈{−1,0,1} (dont l’identité) ;
CardIs(F) = 6.
2) F estuncube de l’espace.
Cherchons d’abordl es déplacements conservant F .
Combien ye na -t-il ?P our spécifier la position d’un
dé cubique posé sur une table, on doit préciser laquelle
des six faces estsur le dessus, puis celle des quatre faces
latérales qui est face àvous. On doit donc trouver 24
déplacementsl aissant globalement le cube invariant.
Il ya:
• l’identité ;
• pour chaque paire d’arêtes opposées, le demi-tour
dont l’axe est la médiatrice de ces arêtes ;
• pour chaque paire de faces opposées, trois rotations
d’angles
kπ
2
( k ∈{ 1 ,2 ,3 }), dont l’axe joint les
centres de ces faces ;
• pour chaque diagonale, deux rotationsd ’angles
2kπ
3
( k ∈{ − 1 ,0 ,1 }), ayant pour axe cette diagonale.
Soit au total 24 déplacements ;i ln ’y en ad onc pas
d’autres.
Prenons une réflexion s conservant le cube (par
exemplepar rapport au plan formé par deux arêtes opposées). L’application f
→ s ◦ f est une bijection de
l’ensemble des déplacements conservant le cube dans
l’ensemble des antidéplacements le conservant. Ainsi,
il yaé galement 24 antidéplacements conservant le
cube (vous dénombrerez facilement 9r éflexions ;i ly
aaussi 15 composées rotation-réflexion plus difficiles
àvoir). Card Is(F) = 48.
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