Transformations du plan et de l’espace
COURS
27
1.4 • Partie linéaire d’une translation
Si f estu ne translation de vecteur u, pourt ous points A et B de E,
−→
AA
=
−→
BB
, donc ABB
A
est un parallélogramme,et:
−−→
A
B
=
−→
AB. La partie
linéaire d’une translationest l’identité.
Réciproquement, si f est une isométrie dont la partie linéaire est Id E , pour tous
points A et B de E,
−−→
A
B
=
−→
AB, donc ABB
A
est un parallélogramme,et:
−→
AA
=
−→
BB
;l evecteur
−→
AA
est constant, f estune translation.
On peut donc énoncer :u ne isométrie est une translation si et seulement si sa
partie linéaire estl’identité.
Plus généralement:
Théorème 3
Deux isométries f et g ont la même partie linéaire si et seulement si elles sont
égales àu ne translation près, c’est-à-dire s’il existe une translation t telle que
f = t ◦ g.
Démonstration
Soit f et g deux isométries telles que
− →
f = − → g . La partie linéaire de f ◦ g
−1
est
− →
f ◦ − → g
− 1
= Id E , donc f ◦ g
−1
est une translation t : f = t ◦ g.
Réciproquement,si f =t◦g,
− →
f = − → t ◦ − → g = − → g . f et g ont la même partie
linéaire.
Exemple :Toutes les symétries centrales ont la même partie linéaire −Id E ;e lles
sont égales àune translation près.
Remarque importante :Une isométrie ayant au moins un point invariant Op eut
être identifiée às ap artie linéaire parl ’isomorphisme M
→
−−→
OM . Tout ce qui a
été dit desa utomorphismes orthogonaux dans le chapitre précédent s’applique donc
aux isométries laissant invariant le point O. Danslecas général, on peut considérer
l’isométrie fc omme la composée de sa partie linéaire, qui laisse Oi nvariant, et de
la translation de vecteur
−−→
OO
.
1.5 • Conservation du barycentre
Théorème 4
Touteisométrie conserve les barycentres. C’est-à-dire que l’image du barycentre
d’un système de points pondérés estlebarycentre du système formé des images
de ces points affectés des mêmes coefficients.
Démonstration
Soit {(A 1 , α 1 ), ··· ,(A n ,α n )} un système de points pondérés avec
n
i=1
α i
= 0.
Le barycentre du système estl’unique point G telque :
n
i=1
α i
−−→
GA i = 0
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
479
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1.4 • Partie linéaire d’une translation
Si f estu ne translation de vecteur u, pourt ous points A et B de E,
−→
AA
=
−→
BB
, donc ABB
A
est un parallélogramme,et:
−−→
A
B
=
−→
AB. La partie
linéaire d’une translationest l’identité.
Réciproquement, si f est une isométrie dont la partie linéaire est Id E , pour tous
points A et B de E,
−−→
A
B
=
−→
AB, donc ABB
A
est un parallélogramme,et:
−→
AA
=
−→
BB
;l evecteur
−→
AA
est constant, f estune translation.
On peut donc énoncer :u ne isométrie est une translation si et seulement si sa
partie linéaire estl’identité.
Plus généralement:
Théorème 3
Deux isométries f et g ont la même partie linéaire si et seulement si elles sont
égales àu ne translation près, c’est-à-dire s’il existe une translation t telle que
f = t ◦ g.
Démonstration
Soit f et g deux isométries telles que
− →
f = − → g . La partie linéaire de f ◦ g
−1
est
− →
f ◦ − → g
− 1
= Id E , donc f ◦ g
−1
est une translation t : f = t ◦ g.
Réciproquement,si f =t◦g,
− →
f = − → t ◦ − → g = − → g . f et g ont la même partie
linéaire.
Exemple :Toutes les symétries centrales ont la même partie linéaire −Id E ;e lles
sont égales àune translation près.
Remarque importante :Une isométrie ayant au moins un point invariant Op eut
être identifiée às ap artie linéaire parl ’isomorphisme M
→
−−→
OM . Tout ce qui a
été dit desa utomorphismes orthogonaux dans le chapitre précédent s’applique donc
aux isométries laissant invariant le point O. Danslecas général, on peut considérer
l’isométrie fc omme la composée de sa partie linéaire, qui laisse Oi nvariant, et de
la translation de vecteur
−−→
OO
.
1.5 • Conservation du barycentre
Théorème 4
Touteisométrie conserve les barycentres. C’est-à-dire que l’image du barycentre
d’un système de points pondérés estlebarycentre du système formé des images
de ces points affectés des mêmes coefficients.
Démonstration
Soit {(A 1 , α 1 ), ··· ,(A n ,α n )} un système de points pondérés avec
n
i=1
α i
= 0.
Le barycentre du système estl’unique point G telque :
n
i=1
α i
−−→
GA i = 0
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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