COURS 27
Transformations du plan et de l’espace
L’application ϕ esta ppelée partie linéaire de f . Elle traduitl af açon dont f
transforme les vecteurs.Onpeut aussi la noter
− →
f . On apour tous points A et
B de E, d’images respectives A
, B
par f :
−−→
A
B
=
− →
f (
−→
AB)
et pour tout point A, tout vecteur x :
f (A + x) = f (A)+
− →
f ( x )
Exemple :Si f est une symétrie centrale, pour tous points A et B de E,
−−→
A
B
= −
−→
AB, donc
− →
f = − Id E . Pour tout point A et tout vecteur x :
f (A + x) = f (A) − x.
La partie linéaire d’une isométriee st un automorphisme orthogonal ;s on déterminant est donc 1ou −1. On appelle déplacement une isométriedont la partie
linéaire apour déterminant +1, et antidéplacement une isométrie dont la partie
linéaire apour déterminant −1.
Remarque :Une application fp ossédant une partie linéaire
− →
fe st dite affine.
Nous venons de montrerq u’une isométrie était unea pplication affine, mais il existe
des applications affines dont la partie linéaire n’est pas orthogonale et qui ne sont donc
pas des isométries.
1.3 • Partie linéaire d’unecomposée d’isométries
Soit f et g deux isométries, de parties linéaires respectives
− →
f , − → g . Pour tout
point A et tout vecteur x :
f ◦ g (A + x) = f
g(A + x)
= f
g(A)+ − → g ( x )
= f ◦ g ( A )+
− →
f ◦ − → g ( x )
La partie linéaire de f ◦ g est
− →
f ◦ − → g .
D’autre part, f étant une isométrie, sa partie linéaire
− →
f est bijective. Pour
tout point O d’image O
et tout point A, l’équation f (M ) = A équivaut
à
− →
f (
−−→
OM ) =
−−→
O
A , c’est-à-dire à
−−→
OM =
− →
f
− 1
(
−−→
O
A ); cette équation au ne
solution unique : M = O +
− →
f
− 1
(
−−→
O
A ) , donc f estbijective. De plus, f
−1
est
une isométriedont la partie linéaire est
− →
f
− 1
.
On peut donc énoncer :
Théorème 2
L’ensemble des isométries de E est un groupe, noté Is(E).
L’ensembledes déplacements de E estunsous-groupe de Is(E), noté Dep(E).
Démonstration
Is(E)e st non vide, stable par composition et il contient les inverses de ses éléments :
c’est un sous-groupe du groupe des bijections de E dans E.
Dep(E) est le noyau du morphisme de groupesdeI s(E) dans {−1, 1} qui à f
associe Det
− →
f .
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Transformations du plan et de l’espace
L’application ϕ esta ppelée partie linéaire de f . Elle traduitl af açon dont f
transforme les vecteurs.Onpeut aussi la noter
− →
f . On apour tous points A et
B de E, d’images respectives A
, B
par f :
−−→
A
B
=
− →
f (
−→
AB)
et pour tout point A, tout vecteur x :
f (A + x) = f (A)+
− →
f ( x )
Exemple :Si f est une symétrie centrale, pour tous points A et B de E,
−−→
A
B
= −
−→
AB, donc
− →
f = − Id E . Pour tout point A et tout vecteur x :
f (A + x) = f (A) − x.
La partie linéaire d’une isométriee st un automorphisme orthogonal ;s on déterminant est donc 1ou −1. On appelle déplacement une isométriedont la partie
linéaire apour déterminant +1, et antidéplacement une isométrie dont la partie
linéaire apour déterminant −1.
Remarque :Une application fp ossédant une partie linéaire
− →
fe st dite affine.
Nous venons de montrerq u’une isométrie était unea pplication affine, mais il existe
des applications affines dont la partie linéaire n’est pas orthogonale et qui ne sont donc
pas des isométries.
1.3 • Partie linéaire d’unecomposée d’isométries
Soit f et g deux isométries, de parties linéaires respectives
− →
f , − → g . Pour tout
point A et tout vecteur x :
f ◦ g (A + x) = f
g(A + x)
= f
g(A)+ − → g ( x )
= f ◦ g ( A )+
− →
f ◦ − → g ( x )
La partie linéaire de f ◦ g est
− →
f ◦ − → g .
D’autre part, f étant une isométrie, sa partie linéaire
− →
f est bijective. Pour
tout point O d’image O
et tout point A, l’équation f (M ) = A équivaut
à
− →
f (
−−→
OM ) =
−−→
O
A , c’est-à-dire à
−−→
OM =
− →
f
− 1
(
−−→
O
A ); cette équation au ne
solution unique : M = O +
− →
f
− 1
(
−−→
O
A ) , donc f estbijective. De plus, f
−1
est
une isométriedont la partie linéaire est
− →
f
− 1
.
On peut donc énoncer :
Théorème 2
L’ensemble des isométries de E est un groupe, noté Is(E).
L’ensembledes déplacements de E estunsous-groupe de Is(E), noté Dep(E).
Démonstration
Is(E)e st non vide, stable par composition et il contient les inverses de ses éléments :
c’est un sous-groupe du groupe des bijections de E dans E.
Dep(E) est le noyau du morphisme de groupesdeI s(E) dans {−1, 1} qui à f
associe Det
− →
f .
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