Transformations du plan et de l’espace
COURS
27
1 Isométries d’un espace vectoriel
euclidien
1.1 • Définition et exemples
Soit E un espace vectoriel euclidien. Les éléments de E seront considérésdans
ce chapitre soit comme des points, soit comme des vecteurs.
On appelle isométrie de E toute application de E dans E qui conserve les distances, c’est-à-dire telle que pour tous points A et B de E, d’images respectives
A
, B
par f :
−−→
A
B
=
−→
AB .
Exemples :Une translation, une symétrie orthogonale (en particulier une symétrie
centrale, une réflexion), une rotation sont des isométries. La composée de deux
isométries est une isométrie.
1.2 • Partie linéaire d’uneisométrie
IMPORTANT
c’est-à-dire
f (O + u) = f (O)+ϕ0( u)
Théorème 1
Soit E un espace vectoriel euclidien, et f une isométrie de E.
1) Pour tout point O de E, l’application ϕ o quia uv ecteur u associel e
vecteur
−−−−−−−−→
f ( O ) f ( O + u )e st linéaire.
2) L’application ϕ o ne dépend pas de O ;o npeut la noter ϕ.
3) ϕ est un automorphisme orthogonal de E.
Démonstration
1) Désignons par O
l’image de O par f . ϕ o est l’applicationtelle que pour
toutpoint M de E, d’image M
par f , ϕ o (
−−→
OM ) =
−− −→
O
M
. Montrons qu’elle
conserve le produit scalaire.
Soit A et B deux points de E, d’images respectives A
, B
par f :
(
−−→
O
A
|
−−→
O
B
) =
1
2
−−→
O
A
2
+
−−→
O
B
2
−−
−−→
A
B
2
Comme f conserve lesdistances :
(
−−→
O
A
|
−−→
O
B
) =
1
2
−→
OA
2
+
−→
OB
2
−−
−→
AB
2
= (
−→
OA |
−→
OB)
Donc pour tous vecteurs x,, y:( ϕ o ( x ) | ϕ o ( y )) = ( x | y); l’application ϕ o
conserve le produitscalaire. D’après le résultat de l’Application 1duchapitre 26 :
Automorphismes orthogonaux,elle est donc linéaire.
2) Soit O 1 , O 2 deux points quelconquesde E. Pour tout vecteur x, il existe
un point M unique tel que x =
−−→
O 1 M =
−−→
O 2 M −
−− −→
O 2 O 1 .
ϕ o 2 ( x ) = ϕ o 2 (
−−→
O 2 M −
−− −→
O 2 O 1 ) = ϕ o 2 (
−−→
O 2 M ) − ϕ o 2 (
−− −→
O 2 O 1 )
car ϕ o2 est linéaire;d’où :
ϕ o2 ( x) =
−− −→
O
2 M
−
−− −→
O
2 O
1 =
−− −→
O
1 M
= ϕ o 1 (
−−→
O 1 M ) = ϕ o 1 ( x )
c’est-à-dire : ϕ o2 = ϕ o1 .
L’application ϕ o ne dépend pas du point O. On peut la noter ϕ.
3) ϕ est une application linéaire de E dans E qui conserve le produit scalaire :
c’est un automorphismeorthogonal.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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COURS
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1 Isométries d’un espace vectoriel
euclidien
1.1 • Définition et exemples
Soit E un espace vectoriel euclidien. Les éléments de E seront considérésdans
ce chapitre soit comme des points, soit comme des vecteurs.
On appelle isométrie de E toute application de E dans E qui conserve les distances, c’est-à-dire telle que pour tous points A et B de E, d’images respectives
A
, B
par f :
−−→
A
B
=
−→
AB .
Exemples :Une translation, une symétrie orthogonale (en particulier une symétrie
centrale, une réflexion), une rotation sont des isométries. La composée de deux
isométries est une isométrie.
1.2 • Partie linéaire d’uneisométrie
IMPORTANT
c’est-à-dire
f (O + u) = f (O)+ϕ0( u)
Théorème 1
Soit E un espace vectoriel euclidien, et f une isométrie de E.
1) Pour tout point O de E, l’application ϕ o quia uv ecteur u associel e
vecteur
−−−−−−−−→
f ( O ) f ( O + u )e st linéaire.
2) L’application ϕ o ne dépend pas de O ;o npeut la noter ϕ.
3) ϕ est un automorphisme orthogonal de E.
Démonstration
1) Désignons par O
l’image de O par f . ϕ o est l’applicationtelle que pour
toutpoint M de E, d’image M
par f , ϕ o (
−−→
OM ) =
−− −→
O
M
. Montrons qu’elle
conserve le produit scalaire.
Soit A et B deux points de E, d’images respectives A
, B
par f :
(
−−→
O
A
|
−−→
O
B
) =
1
2
−−→
O
A
2
+
−−→
O
B
2
−−
−−→
A
B
2
Comme f conserve lesdistances :
(
−−→
O
A
|
−−→
O
B
) =
1
2
−→
OA
2
+
−→
OB
2
−−
−→
AB
2
= (
−→
OA |
−→
OB)
Donc pour tous vecteurs x,, y:( ϕ o ( x ) | ϕ o ( y )) = ( x | y); l’application ϕ o
conserve le produitscalaire. D’après le résultat de l’Application 1duchapitre 26 :
Automorphismes orthogonaux,elle est donc linéaire.
2) Soit O 1 , O 2 deux points quelconquesde E. Pour tout vecteur x, il existe
un point M unique tel que x =
−−→
O 1 M =
−−→
O 2 M −
−− −→
O 2 O 1 .
ϕ o 2 ( x ) = ϕ o 2 (
−−→
O 2 M −
−− −→
O 2 O 1 ) = ϕ o 2 (
−−→
O 2 M ) − ϕ o 2 (
−− −→
O 2 O 1 )
car ϕ o2 est linéaire;d’où :
ϕ o2 ( x) =
−− −→
O
2 M
−
−− −→
O
2 O
1 =
−− −→
O
1 M
= ϕ o 1 (
−−→
O 1 M ) = ϕ o 1 ( x )
c’est-à-dire : ϕ o2 = ϕ o1 .
L’application ϕ o ne dépend pas du point O. On peut la noter ϕ.
3) ϕ est une application linéaire de E dans E qui conserve le produit scalaire :
c’est un automorphismeorthogonal.
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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