COURS 2
Fonctions usuelles
Sur la TI-92/Voyage2 00, la fonction Arccos est notée
cos
−1 .Nepas confondre avec la fonction x →
1
cos x
.
Or sin
2
(Arccos x) = 1 − cos
2
(Arccos x) = 1 − x
2
et comme
Arccos x ∈ ]0, π[, sin(Arccos x) > 0.
D’où sin(Arccos x) =
1 − x 2 .
En définitive :
∀x ∈ ]−1, 1[ (Arccos)
(x) = −
1
√ 1 − x 2
La fonction Arccos estc ontinue sur [−1, 1], dérivable sur
]−1, 1[ et lim
x→1−
(Arccos)
(x) = −∞. Par conséquent, Arccos
n’estpas dérivable en 1, ni de même en −1. Sa courbe représentative présente aux points d’abscisse 1et −1d es demi-tangentes
verticales (Doc.21).
x
y
Arc cos π
π
1
0
1
−1 −1
cos
Doc. 21 Fonction Arccosinus.
Remarque :Lafonction x
→ Arcsin x +Arccos xe st dérivable sur ]−1, 1[ et sa
dérivée est nulle :cette fonction est donc constante sur cet intervalle. La valeur de cette
constanteest
π
2
(valeuren0). Comme on aaussi :
Arcsin 1+Arccos 1 =
π
2
et Arcsin (−1) +Arccos (−1) =
π
2
,
on peutconclure :
∀x ∈ [−1, 1] Arcsin x +Arccos x =
π
2
5.3 • Fonction Arctangente
X
x
Y π
2
0
π
2
–
Arc
tan x
Doc.22 Arc tangente.
Soit f la restriction de la fonction tangente à
−
π
2
,
π
2
, f est continue et
strictement croissante sur cet intervalle ;s es limites aux bornes sont ±∞. C’est
donc une bijection de
−
π
2
,
π
2
dans R. La bijection réciproque de R dans
−
π
2
,
π
2
est appelée Arc tangente et notée x
→ Arctan x (Doc. 22).
Par définition :
Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Arctan est notée
tan
−1 .Nepas confondre avec la fonction x →
1
tan x
.
Pour tout x ∈ R , Arctan x estl’unique élément de
−
π
2
,
π
2
qui apour tangente x :
y = Arctan x
x ∈ R
⇐⇒
x = tan y
y ∈
−
π
2
,
π
2
D’après le théorème utilisé, la fonction Arc tangentee st également continue et strictementcroissante sur R.
Dérivée
Comme la fonction f est dérivableetque sa dérivée ne s’annule
pas sur
−
π
2
,
π
2
, la fonction Arc tangente estdérivable sur R
et (Doc.23) :
∀x ∈ R (Arctan )
(x) =
1
f (f (x))
=
1
1+tan 2 (Arctan x)
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