Fonctions usuelles
COURS
2
Sur la TI-92/Voyage2 00, la fonction Arcsin est notée
sin
−1 .Nepas confondre avec la fonction x →
1
sin x
.
D’aprèslethéorème utilisé, la fonction Arc sinus estégalement
continue et strictementcroissante sur [−1, 1] .
Dérivée
Comme la fonction f est dérivableetque sa dérivée ne s’annule
pas sur
−
π
2
,
π
2
, la fonction Arc sinus estdérivable sur ]−1, 1[
et :
∀x ∈ ]−1, 1[ (Arcsin)
(x) =
1
f (f (x))
=
1
cos(Arcsin x)
Or cos
2
(Arcsin x) = 1 − sin
2
(Arcsin x) = 1 − x
2
et
comme Arcsin x ∈ ] −
π
2
,
π
2
[, cos(Arcsin x) > 0. D’où
cos(Arcsin x) =
1 − x 2 . En définitive :
∀x ∈ ]−1, 1[ (Arcsin)
(x) =
1
√
1 − x 2
y’
x’
y
x
O
π
2
π
2
–
1
– 1
Arc sin
sin
Doc. 19 FonctionsArc sinus.
La fonction Arcsin estcontinue sur [−1, 1], dérivable sur ]−1, 1[ et
lim
x→1−
(Arcsin)
(x) = +∞. Par conséquent, Arcsinn ’est pas dérivable en 1, ni de
mêmeen −1. Sa courbe représentative (Doc.19) présente aux points d’abscisse 1
et −1d es demi-tangentes verticales.
Remarque :Lafonction Arcsin est impaire.
5.2 • Fonction Arc cosinus
Y
O
π
2
π
0
Arc cos x
1
–1
X
x
Doc. 20 Arccosinus.
Soit f la restrictiondelafonction cosinus à[ 0 ,π ] , f est continue et strictement
décroissante sur cet intervalle. C’est doncune bijection de [0, π]d ans [−1, 1] .
La bijection réciproque de [−1, 1] dans [0, π]e st appelée Arc cosinus et notée
x
→ Arccos x (Doc.20).
Par définition :
Pour tout x ∈ [−1, 1] , Arccos x est l’unique élémentde[ 0 , π ]q ui apour
cosinus x :
y = Arccos x
x ∈ [−1, 1]
⇐⇒
x = cos y
y ∈ [0, π]
D’après le théorème utilisé, la fonction Arc cosinus esté galement continue et
strictement décroissante sur [−1, 1].
Dérivée
Comme la fonction f est dérivable et que sa dérivée ne s’annule pas sur ]0, π[,
la fonction Arc cosinus estdérivable sur ]−1, 1[ et :
∀x ∈ ]−1, 1[ (Arccos)
(x) =
1
f (f (x))
=
1
− sin(Arccos x)
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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