COURS 2
Fonctions usuelles
d’où :
cos(x 0 + h) − cos x 0
h
= cos x 0
cos h − 1
h
− sin x 0
sin h
h
et parconséquent :
lim
h→0
cos(x 0 + h) − cos x 0
h
= − sin x 0
y'
x'
x
2
2
y
sin
cos
O
Doc. 16 Fonctionssinus et cosinus.
Lesfonctions sinus et cosinus sont donc dérivables sur R et (Doc. 16) :
∀x ∈ R sin
(x) = cos x cos
(x) = − sin x
Or sin
(x) = sin
x +
π
2
et cos
(x) = cos
x +
π
2
.
On en déduit facilementp ar récurrence que les fonctions sinus et cosinus sont
indéfinimentdérivables sur R et :
∀n ∈ N sin
(n)
(x) = sin
x +
nπ
2
cos
(n)
(x) = cos
x +
nπ
2
4.3 • Fonction tangente
π
−
O
x
π
2
π
2
y
−
π
Doc.17 Fonction tangente.
La fonction tangente (Doc.17), notée tan, est définiesur R\{
π
2
+ kπ , k ∈ Z}
par tan x =
sin x
cos x
;e lle est impaire et π -périodique.E lle est dérivable sur cet
ensemble et :
tan
(x) = 1+tan
2
x =
1
cos 2 x
5 Fonctionscirculaires réciproques
Les fonctions que nous venons d’étudiernesont évidemment pas bijectives sur tout
leur ensemble de définition, mais certaines restrictions convenablement choisies
peuventl’être. Les bijections réciproques correspondantes définissent de nouvelles
fonctionsqui sont très importantes, notamment en calcul intégral.
5.1 • Fonction Arc sinus
X
Y
x
O
2
0
2
1
1
Arc
sin x
Doc. 18 Arcsinus.
Soit f la restrictiond el af onction sinus à
−
π
2
,
π
2
, f est continue et strictement croissante sur cetintervalle. C’est donc une bijection de
−
π
2
,
π
2
dans
[−1, 1] . La bijection réciproque de [−1, 1] dans
−
π
2
,
π
2
est appelée Arc
sinus et notée x
→ Arcsin x (Doc.18).
Par définition :
Pour tout x ∈ [−1, 1] , Arcsin x est l’unique élémentde
−
π
2
,
π
2
qui a
pour sinus x : y = Arcsin x
x ∈ [−1, 1]
⇐⇒
x = sin y
y ∈
−
π
2
,
π
2
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