Fonctions usuelles
COURS
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On en déduit lim
x→0
sin x = 0 = sin 0, donc la fonction sinusest continue en 0.
On sait que ∀x ∈ [−
π
2
,
π
2
]c os x =
1 − sin 2 x, doncl im
x→0
cos x = 1 = cos 0:
la fonction cosinus estcontinue en 0.
En un point quelconque x 0 , on a:
∀h∈R sin(x 0 + h) = sin x 0 cos h +cos x 0 sin h,
donc
lim
h→0
sin(x 0 + h) = sin x 0
∀h ∈ R cos(x 0 + h) = cos x 0 cos h − sin x 0 sin h,
donc
lim
h→0
cos(x 0 + h) = cos x 0
En définitive, les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R.
Dérivabilité
Soit T le point d’intersection de la droite (OM )e tdelatangente en A à C.
y
T
A x
O
M
Doc. 15 Comparaison d’aires.
Comparonsles aires du triangle OAM, du secteur angulaire OAM et du triangle
OAT (Doc.15) :
∀x ∈ ]0,
π
2
[
1
2
sin x
x
2
1
2
tan x
D’où l’on déduit en divisant les trois membres par
1
2
sin x (qui est strictement
positif) :1
x
sin x
1
cos x
, ou en passantaux inverses :
∀x ∈ ]0,
π
2
[c os x
sin x
x
1
On en déduit que lim
x→0 +
sin x
x
= 1. Comme cettefonction est paire, il en estde
même de la limite àgauche. D’où :
lim
x→0
sin x
x
= 1
Cette limite exprimel ad érivabilité de la fonction sinus en 0, sa dérivée valant 1
en ce point.
Comme: 1−cos x = 2sin
2 x
2
, on en déduit :
lim
x→0
1 − cos x
x 2
=
1
2
En un point x 0 quelconque :
sin(x 0 + h) = sin x 0 cos h +cos x 0 sin h
d’où :
sin(x 0 + h) − sin x 0
h
= sin x 0
cos h − 1
h
+cos x 0
sin h
h
et par conséquent :
lim
h→0
sin(x 0 + h) − sin x 0
h
= cos x 0
De même :
cos(x 0 + h) = cos x 0 cos h − sin x 0 sin h
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