COURS 2
Fonctions usuelles
d’où
Y =
1+x
1−x
L’équation aune solution réelle unique :
y =
1
2
ln
1+x
1−x
car
1+x
1−x
>0
∀x∈]−1,1[ Argth x =
1
2
ln
1+x
1−x
• Autre méthode :Les deux fonctions
x
→ Argth x et x →
1
2
ln
1+x
1−x
sont dérivables sur ] − 1, 1[. Or,
1
2
ln
1+x
1−x
=
1
2
2
(1 − x) 2
1 − x
1+x
=
1
1−x 2
où l’on reconnaît la dérivée de la fonction Argth .
De plus, ces deux fonctions prennent la même valeur nulle pour x = 0, elles sont donc égales.
Pours’entraîner :ex. 5
4 Fonctions circulaires
4.1 • Paramétrage d’un cercle
y
x
O
sin x
M
cos x
x i
j
Doc. 13 Paramétrage d’un cercle.
Le plan orienté estr apporté àu nr epère orthonormé direct (O,, i, j). Soit C le
cercle de centre O de rayon1.Pour tout réel x, le point M de C tel que l’angle
orienté( i ,
−−→
OM )a it pour mesure x, apour coordonnées (cos x, sin x)( Doc.13).
On définit ainsi deux fonctions de R dans R 2π -périodiques, sinus et cosinus,
respectivement impaireetpaire.
Leur quotient estl af onction tangente définies ur R\{
π
2
+ kπ, k ∈ Z} par
tan x =
sin x
cos x
. Cette fonction est impaire et π -périodique.
Retrouvons les propriétés différentielles (limites, dérivées) de ces fonctions classiques àpartir de ce simple point de vue géométrique.
4.2 • Fonctions sinus et cosinus
Soit x ∈ ]0,
π
2
[, M le pointd ec oordonnées (cos x, sin x), A le point de
coordonnées (1, 0).
Continuité
y
A x
O
M
Doc. 14 Comparaisond’aires.
Comparonsles aires du triangle OAM et du secteur angulaire OAM (Doc.14) :
∀x ∈ ]0,
π
2
[
1
2
sin x
1
2
x,
soit :s in x x
Cettei négalité est encore vraie pour x = 0, et comme la fonction sinus est
impaire, on peut écrire :
∀x ∈ ] −
π
2
,
π
2
[ | sin x| |x|
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