Fonctions usuelles
COURS
2
APPLICATION 3
Expressiondes fonctions hyperboliques réciproques
àl’aide du logarithme népérien
Lesf onctions hyperboliques réciproques peuvent s’exprimer àl’aide de la fonction logarithme népérien ;vérifionsle pourchacune d’elles.
1) Montrer, de deux façons différentes, que :
∀x ∈ R, Argsh x = ln(x +
√ x 2 +1)
2) Montrer, de deux façons différentes, que :
∀x ∈ [1, +∞[, Argch x = ln(x +
x 2 − 1)
3) Montrer, de deux façons différentes, que :
∀x ∈ R, Argth x =
1
2
ln
1+x
1−x
1) • Résolvons l’équation en y : x = sh y, soit
x =
e
y
− e
−y
2
. Posons Y = e
y
.
L’équation devient :
2x = Y −
1
Y
soit Y
2
− 2xY − 1 = 0
Cette équation du second degré en Y possède deux
racines réelles de signes contraires :
Y = x +
√
x 2 +1 et Y = x −
√ x 2 +1.
Comme Y = e
y
, on conserve uniquementl as olution positive :
Y = x +
√ x 2 +1 d’où y = ln(x +
√
x 2 +1).
∀x∈R Argsh x = ln(x +
√ x 2 +1)
• Autre méthode :Les deux fonctions x
→ Argsh x
et x → ln(x +
√ x 2 +1)s ont dérivables sur R. Or,
ln(x +
√
x 2 +1)
=
1+
2 x
2
√
x 2 +1
x +
√ x 2 +1
=
1
√ x 2 +1
où l’on reconnaît la dérivée de la fonction Argsh .
De plus, cesdeux fonctions prennent la même valeur nulle pour x = 0, elles sont donc égales.
2) • Résolvons l’équation en y : x = ch y, soit
x =
e
y
+e
− y
2
. Posons Y = e
y
. L’équation devient :
2x = Y +
1
Y
soit Y
2
− 2xY +1=0
Cette équation du second degré en Y possède deux
racines réelles positives :
Y = x +
x 2 − 1e tY = x −
x 2 − 1 .
Comme on veut que y 0, on conserve uniquement la solution supérieure à1:
Y =x+
x 2 −1, d’où y = ln(x+
x 2 − 1).
∀x ∈ [1, +∞[A rgch x = ln(x +
x 2 − 1)
• Autre méthode :Les deux fonctions
x
→ Argch x et x → ln(x +
x 2 − 1)
sontdérivables sur ]1, +∞[. Or,
ln(x +
x 2 − 1)
=
1+
2 x
2
√
x 2 − 1
x+
√
x 2 −1
=
1
√ x 2 −1
où l’on reconnaît la dérivée de la fonction Argch .
De plus, ces deux fonctions prennent la même valeur nulle pour x = 1, elles sont donc égales.
3) • Résolvons l’équation en y :
x = th y
soit
x =
e
2y
− 1
e 2y +1
Posons Y = e
2y
. L’équation devient:
Y −1=x(Y +1)
soit
Y (1 − x) = 1+x
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Expressiondes fonctions hyperboliques réciproques
àl’aide du logarithme népérien
Lesf onctions hyperboliques réciproques peuvent s’exprimer àl’aide de la fonction logarithme népérien ;vérifionsle pourchacune d’elles.
1) Montrer, de deux façons différentes, que :
∀x ∈ R, Argsh x = ln(x +
√ x 2 +1)
2) Montrer, de deux façons différentes, que :
∀x ∈ [1, +∞[, Argch x = ln(x +
x 2 − 1)
3) Montrer, de deux façons différentes, que :
∀x ∈ R, Argth x =
1
2
ln
1+x
1−x
1) • Résolvons l’équation en y : x = sh y, soit
x =
e
y
− e
−y
2
. Posons Y = e
y
.
L’équation devient :
2x = Y −
1
Y
soit Y
2
− 2xY − 1 = 0
Cette équation du second degré en Y possède deux
racines réelles de signes contraires :
Y = x +
√
x 2 +1 et Y = x −
√ x 2 +1.
Comme Y = e
y
, on conserve uniquementl as olution positive :
Y = x +
√ x 2 +1 d’où y = ln(x +
√
x 2 +1).
∀x∈R Argsh x = ln(x +
√ x 2 +1)
• Autre méthode :Les deux fonctions x
→ Argsh x
et x → ln(x +
√ x 2 +1)s ont dérivables sur R. Or,
ln(x +
√
x 2 +1)
=
1+
2 x
2
√
x 2 +1
x +
√ x 2 +1
=
1
√ x 2 +1
où l’on reconnaît la dérivée de la fonction Argsh .
De plus, cesdeux fonctions prennent la même valeur nulle pour x = 0, elles sont donc égales.
2) • Résolvons l’équation en y : x = ch y, soit
x =
e
y
+e
− y
2
. Posons Y = e
y
. L’équation devient :
2x = Y +
1
Y
soit Y
2
− 2xY +1=0
Cette équation du second degré en Y possède deux
racines réelles positives :
Y = x +
x 2 − 1e tY = x −
x 2 − 1 .
Comme on veut que y 0, on conserve uniquement la solution supérieure à1:
Y =x+
x 2 −1, d’où y = ln(x+
x 2 − 1).
∀x ∈ [1, +∞[A rgch x = ln(x +
x 2 − 1)
• Autre méthode :Les deux fonctions
x
→ Argch x et x → ln(x +
x 2 − 1)
sontdérivables sur ]1, +∞[. Or,
ln(x +
x 2 − 1)
=
1+
2 x
2
√
x 2 − 1
x+
√
x 2 −1
=
1
√ x 2 −1
où l’on reconnaît la dérivée de la fonction Argch .
De plus, ces deux fonctions prennent la même valeur nulle pour x = 1, elles sont donc égales.
3) • Résolvons l’équation en y :
x = th y
soit
x =
e
2y
− 1
e 2y +1
Posons Y = e
2y
. L’équation devient:
Y −1=x(Y +1)
soit
Y (1 − x) = 1+x
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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