Automorphismes orthogonaux
EXERCICES
26
7 (CCP 2006)
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3et ϕ
un morphisme de groupes de O(E)d ans R
∗
.
1) Montrer que pour toute réflexion s : ϕ(s) = ±1.
2) Soit s et s
deux réflexions d’hyperplans H et H
.
Montrer qu’il existe une réflexion s 1 telle que :
s
◦ s 1 = s 1 ◦ s.
En déduire que ϕ(s) = ϕ(s
).
3) Trouver tous les morphismes de groupes de O(E)d ans
R
∗
.
8 (TPE2006)
Soit M unematrice antisymétrique de M n (R).Montrer
que M +I est inversible (si MX + X = 0,on pourra calculer
t
(MX )(MX )).Montrer que A = (M − I)(M +I)
−1
est orthogonale.
9 (Centrale-Supelec 2007)
Soit A =
⎛
⎝
111
111
201
⎞
⎠ et B =
⎛
⎝
3
−2
1
⎞
⎠ .
L’équation AX = B admet-elle des solutions ?
Existe-t-il X 0 tel que AX 0 − B est minimal ?
X 0 est-il unique ?
475
EXERCICES
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7 (CCP 2006)
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 3et ϕ
un morphisme de groupes de O(E)d ans R
∗
.
1) Montrer que pour toute réflexion s : ϕ(s) = ±1.
2) Soit s et s
deux réflexions d’hyperplans H et H
.
Montrer qu’il existe une réflexion s 1 telle que :
s
◦ s 1 = s 1 ◦ s.
En déduire que ϕ(s) = ϕ(s
).
3) Trouver tous les morphismes de groupes de O(E)d ans
R
∗
.
8 (TPE2006)
Soit M unematrice antisymétrique de M n (R).Montrer
que M +I est inversible (si MX + X = 0,on pourra calculer
t
(MX )(MX )).Montrer que A = (M − I)(M +I)
−1
est orthogonale.
9 (Centrale-Supelec 2007)
Soit A =
⎛
⎝
111
111
201
⎞
⎠ et B =
⎛
⎝
3
−2
1
⎞
⎠ .
L’équation AX = B admet-elle des solutions ?
Existe-t-il X 0 tel que AX 0 − B est minimal ?
X 0 est-il unique ?
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