Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Une projection orthogonale estu ne ndomorphisme
orthogonal.
b) Une symétrie orthogonale est un endomorphisme orthogonal.
c) Une matrice carrée estorthogonale si et seulement si sa
transposéeest son inverse.
d) Tout automorphisme de déterminant ±1e st orthogonal.
e) Tout automorphismeorthogonal de déterminant +1 en
dimension2ou 3est une rotation.
f) Tout automorphisme orthogonal de déterminant −1e n
dimension 2ou3estune réflexion.
g) Les réflexions engendrent le groupe orthogonal d’un e.v.
euclidien de dimension 2ou3.
2 E est un espace vectoriel euclidien. Àt out x ∈
E\{0}, on associel’application :
E →
ϕ x E
y
→ y −
2(x|y)
x 2 x
1) Montrer que ϕ x est un automorphismeorthogonal.
2) Reconnaître la nature de ϕ x .
3 Déterminer( a , b , c )∈R
∗ 3 pour que la matrice :
A = −
2
3
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−
1
2
b
a
c
a
a
b
−
1
2
c
b
a
c
b
c
−
1
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
soit orthogonale. Reconnaître les automorphismes orthogonaux de R
3
correspondants.
4 Reconnaître les endomorphismes de R
3
canoniquementassociés aux matrices suivantes :
A =
1
3
⎛
⎝
22
1
− 21
2
1 − 22
⎞
⎠
B =
⎛
⎝
00 − 1
− 100
0 − 10
⎞
⎠
C =
⎛
⎝
1 − 2 α
2
− 2 αβ
−2αγ
−2βα 1 − 2β
2
−2βγ
−2γα
−2γβ 1 − 2γ
2
⎞
⎠
avec α
2
+ β
2
+ γ
2
= 1
D =
⎛
⎝
cos
2 α
sin α cos α
sin α
sin α cos α
sin
2 α
− cos α
− sin α
cos α
0
⎞
⎠
5 Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension3rapporté àune base orthonormale directe. Soit
u = (α, β, γ)u nvecteur unitaire, et R la rotation d’angle
θ d’axe dirigépar u. Démontrerque pour tout vecteur x
de E :
R(x) = (u|x)(1 − cos θ)u +cos θ x +sin θ u∧x
En déduirelamatrice générale d’une rotation dans une base
orthonormale. Étudier le cas particulier d’un demi-tour.
Exercices posés aux oraux des concours
6 (ENS 2006)
Soit G un ensemble de n matrices de M d (R)i nversibles
et distinctes, stable par produit.
1) Soit M i ∈ G .Montrer que ϕ : ϕ(M ) = M i M définit
unea pplication de G dans G bijective, en déduireq ue
G est un groupe si I d ∈ G .
2) Montrerq ue Q(X , Y ) =
1
n
n
k=1
(M k X |M k Y )e st un
produitscalaire.
3) Montrer que M i est une matriceorthogonale pour Q .
4) Montrer que si l’on définit M =
n
k=1
M k vérifiant
Tr(M ) = 0,alors pour tout j ∈ N
∗
, Tr(M
j
) = 0.
474
1 Vraioufaux ?
a) Une projection orthogonale estu ne ndomorphisme
orthogonal.
b) Une symétrie orthogonale est un endomorphisme orthogonal.
c) Une matrice carrée estorthogonale si et seulement si sa
transposéeest son inverse.
d) Tout automorphisme de déterminant ±1e st orthogonal.
e) Tout automorphismeorthogonal de déterminant +1 en
dimension2ou 3est une rotation.
f) Tout automorphisme orthogonal de déterminant −1e n
dimension 2ou3estune réflexion.
g) Les réflexions engendrent le groupe orthogonal d’un e.v.
euclidien de dimension 2ou3.
2 E est un espace vectoriel euclidien. Àt out x ∈
E\{0}, on associel’application :
E →
ϕ x E
y
→ y −
2(x|y)
x 2 x
1) Montrer que ϕ x est un automorphismeorthogonal.
2) Reconnaître la nature de ϕ x .
3 Déterminer( a , b , c )∈R
∗ 3 pour que la matrice :
A = −
2
3
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−
1
2
b
a
c
a
a
b
−
1
2
c
b
a
c
b
c
−
1
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
soit orthogonale. Reconnaître les automorphismes orthogonaux de R
3
correspondants.
4 Reconnaître les endomorphismes de R
3
canoniquementassociés aux matrices suivantes :
A =
1
3
⎛
⎝
22
1
− 21
2
1 − 22
⎞
⎠
B =
⎛
⎝
00 − 1
− 100
0 − 10
⎞
⎠
C =
⎛
⎝
1 − 2 α
2
− 2 αβ
−2αγ
−2βα 1 − 2β
2
−2βγ
−2γα
−2γβ 1 − 2γ
2
⎞
⎠
avec α
2
+ β
2
+ γ
2
= 1
D =
⎛
⎝
cos
2 α
sin α cos α
sin α
sin α cos α
sin
2 α
− cos α
− sin α
cos α
0
⎞
⎠
5 Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension3rapporté àune base orthonormale directe. Soit
u = (α, β, γ)u nvecteur unitaire, et R la rotation d’angle
θ d’axe dirigépar u. Démontrerque pour tout vecteur x
de E :
R(x) = (u|x)(1 − cos θ)u +cos θ x +sin θ u∧x
En déduirelamatrice générale d’une rotation dans une base
orthonormale. Étudier le cas particulier d’un demi-tour.
Exercices posés aux oraux des concours
6 (ENS 2006)
Soit G un ensemble de n matrices de M d (R)i nversibles
et distinctes, stable par produit.
1) Soit M i ∈ G .Montrer que ϕ : ϕ(M ) = M i M définit
unea pplication de G dans G bijective, en déduireq ue
G est un groupe si I d ∈ G .
2) Montrerq ue Q(X , Y ) =
1
n
n
k=1
(M k X |M k Y )e st un
produitscalaire.
3) Montrer que M i est une matriceorthogonale pour Q .
4) Montrer que si l’on définit M =
n
k=1
M k vérifiant
Tr(M ) = 0,alors pour tout j ∈ N
∗
, Tr(M
j
) = 0.
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