Automorphismes orthogonaux
Exercice résolu
ROTATIONS DE L’ESPACE QUICOMMUTENT
1) Soit Ru ne rotation de l’espace. Montrer que s’il existe un vecteur vn on nul tel que R(v) = −v, alors Re st un
demi-tourdont l’axe est orthogonal àv .
2) Soit R, R
deux rotations distinctesdel’identité, d’axes dirigés respectivement parles vecteurs unitaires ue tu
.Trouver
une conditionnécessaire et suffisante pour queRet R
commutent.
Conseils
Solution
Choisirune base et exprimer analytiquement la rotation.
1) Soit e 1 un vecteurunitaire de l’axe de la rotation R. On peutcomplèter
(e 1 )e nu ne base orthonormale (e 1 , e 2 , e 3 );la matrice de R dans cette
base est :
A =
⎛
⎝
10
0
0c os θ − sin θ
0s in θ
cos θ
⎞
⎠
Àq uelle condition existe-t-il un vecteur
v non nul tel que R(v) = −v ?
Cherchonsu nv ecteur v = xe 1 + ye 2 + ze 3 tel que R(v) = −v, ce qui
équivaut au système:
⎧
⎨
⎩
x=−x
ycos θ − z sin θ = −y
y sin θ + z cos θ = −z
soit :
⎧
⎨
⎩
x = 0
y(1 +cos θ) − z sin θ = 0
y sin θ + z(1 +cos θ) = 0
Pour quecesystème possède une solution non nulle, il estnécessaire que
son déterminantsoit nul :
10
0
01 +cos θ − sin θ
0s in θ
1+cos θ
= 0
ce quiéquivaut à: (1 +cos θ)
2
+sin
2 θ = 0, d’où cos θ = −1, θ = π :
la rotation R est un demi-tour.
Réciproquement, si R est un demi-tour, tout vecteur orthogonal àl ’axe
est transformé en son opposé.
Appliquerl’égalité R ◦ R
= R
◦ R aux
vecteurs u et u
.
2) Supposons que R ◦ R
= R
◦ R. En appliquant cetteégalité au vecteur
u, invariantp ar R, on obtient: R
R
( u )
=R
( u );le vecteur R
(u)
est invariant par R, il est donc colinéaire à u. Comme R
conserve la
norme, on a: R
(u)=±u.
• Si R
(u) = u, u est invariant par R
, donc colinéaire à u
:l es
rotations R et R
ont le même axe.
• Si R
(u) = −u, R
est un demi-tourd’axe orthogonal à u. Le même
raisonnement s’applique à R : R et R
sont deux demi-tours d’axes
orthogonaux.
Ne pas oublier la réciproque.
Réciproquement, il estclair que deux rotations de même axe commutent ;
il en est de même de deux demi-tours d’axes orthogonaux.
En conclusion, deux rotations distinctes de l’identité commutent si et
seulement si elles ont le même axe, ou si ce sont deux demi-tours d’axes
orthogonaux.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Exercice résolu
ROTATIONS DE L’ESPACE QUICOMMUTENT
1) Soit Ru ne rotation de l’espace. Montrer que s’il existe un vecteur vn on nul tel que R(v) = −v, alors Re st un
demi-tourdont l’axe est orthogonal àv .
2) Soit R, R
deux rotations distinctesdel’identité, d’axes dirigés respectivement parles vecteurs unitaires ue tu
.Trouver
une conditionnécessaire et suffisante pour queRet R
commutent.
Conseils
Solution
Choisirune base et exprimer analytiquement la rotation.
1) Soit e 1 un vecteurunitaire de l’axe de la rotation R. On peutcomplèter
(e 1 )e nu ne base orthonormale (e 1 , e 2 , e 3 );la matrice de R dans cette
base est :
A =
⎛
⎝
10
0
0c os θ − sin θ
0s in θ
cos θ
⎞
⎠
Àq uelle condition existe-t-il un vecteur
v non nul tel que R(v) = −v ?
Cherchonsu nv ecteur v = xe 1 + ye 2 + ze 3 tel que R(v) = −v, ce qui
équivaut au système:
⎧
⎨
⎩
x=−x
ycos θ − z sin θ = −y
y sin θ + z cos θ = −z
soit :
⎧
⎨
⎩
x = 0
y(1 +cos θ) − z sin θ = 0
y sin θ + z(1 +cos θ) = 0
Pour quecesystème possède une solution non nulle, il estnécessaire que
son déterminantsoit nul :
10
0
01 +cos θ − sin θ
0s in θ
1+cos θ
= 0
ce quiéquivaut à: (1 +cos θ)
2
+sin
2 θ = 0, d’où cos θ = −1, θ = π :
la rotation R est un demi-tour.
Réciproquement, si R est un demi-tour, tout vecteur orthogonal àl ’axe
est transformé en son opposé.
Appliquerl’égalité R ◦ R
= R
◦ R aux
vecteurs u et u
.
2) Supposons que R ◦ R
= R
◦ R. En appliquant cetteégalité au vecteur
u, invariantp ar R, on obtient: R
R
( u )
=R
( u );le vecteur R
(u)
est invariant par R, il est donc colinéaire à u. Comme R
conserve la
norme, on a: R
(u)=±u.
• Si R
(u) = u, u est invariant par R
, donc colinéaire à u
:l es
rotations R et R
ont le même axe.
• Si R
(u) = −u, R
est un demi-tourd’axe orthogonal à u. Le même
raisonnement s’applique à R : R et R
sont deux demi-tours d’axes
orthogonaux.
Ne pas oublier la réciproque.
Réciproquement, il estclair que deux rotations de même axe commutent ;
il en est de même de deux demi-tours d’axes orthogonaux.
En conclusion, deux rotations distinctes de l’identité commutent si et
seulement si elles ont le même axe, ou si ce sont deux demi-tours d’axes
orthogonaux.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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