Automorphismes orthogonaux
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’un endomorphisme estorthogonal, on peut :
• montrer qu’il conserveleproduit scalaire ;
• montrer qu’il conserve la norme ;
• montrer qu’il transforme une base orthonormale en une autre ;
• montrer que sa matrice dans une base orthonormale est orthogonale.
Pour montrerqu’une matrice carrée estorthogonale, on peut :
• montrer que le produit de cette matrice par sa transposée est égal àlamatrice unité ;
• montrer que les vecteurs colonnes forment une famille orthonormale ;
• montrer que c’est la matrice de passage d’une base orthonormale en une autre;
• montrer que l’endomorphisme canoniquement associé estorthogonal.
Pour reconnaître un automorphisme orthogonal f àpartir de sa matrice dans une base orthonormale :
• avant tout vérifier que cette matrice estorthogonale ;
• éventuellement calculer son déterminant, qui peutêtre 1ou −1;
• chercher l’ensemble des vecteurs invariants ;c’est un sous-espace dont la dimension renseigne complètement
sur la nature de l’application f ;
• déterminerles éléments caractéristiques de f (par exemplepour une rotation, axe et angle).
Pour déterminer l’angle d’une rotation, on peut :
• choisirunvecteur x orthogonal àl’axe de la rotation ;leproduit scalaire (x|f (x)) donne l’angle de la rotation,
sans orientation ;leproduit vectoriel x ∧ f (x)d étermine l’orientation de l’axe qui permet de prendre positif
l’angle de la rotation.
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Pour montrerqu’un endomorphisme estorthogonal, on peut :
• montrer qu’il conserveleproduit scalaire ;
• montrer qu’il conserve la norme ;
• montrer qu’il transforme une base orthonormale en une autre ;
• montrer que sa matrice dans une base orthonormale est orthogonale.
Pour montrerqu’une matrice carrée estorthogonale, on peut :
• montrer que le produit de cette matrice par sa transposée est égal àlamatrice unité ;
• montrer que les vecteurs colonnes forment une famille orthonormale ;
• montrer que c’est la matrice de passage d’une base orthonormale en une autre;
• montrer que l’endomorphisme canoniquement associé estorthogonal.
Pour reconnaître un automorphisme orthogonal f àpartir de sa matrice dans une base orthonormale :
• avant tout vérifier que cette matrice estorthogonale ;
• éventuellement calculer son déterminant, qui peutêtre 1ou −1;
• chercher l’ensemble des vecteurs invariants ;c’est un sous-espace dont la dimension renseigne complètement
sur la nature de l’application f ;
• déterminerles éléments caractéristiques de f (par exemplepour une rotation, axe et angle).
Pour déterminer l’angle d’une rotation, on peut :
• choisirunvecteur x orthogonal àl’axe de la rotation ;leproduit scalaire (x|f (x)) donne l’angle de la rotation,
sans orientation ;leproduit vectoriel x ∧ f (x)d étermine l’orientation de l’axe qui permet de prendre positif
l’angle de la rotation.
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