Automorphismes orthogonaux
COURS
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thogonal. Cherchons l’ensemble des vecteurs
invariants par f , c’est-à-dire le sous-espace
Ker(f −Id R 3 ):
⎛
⎝
− 5 − 12
2 − 51
12 − 1
⎞
⎠
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
0
0
⎞
⎠
équivaut à:
⎧
⎨
⎩
−5x−y+2z=0
2x−5y+z=0
x+2y−z=0
Ce système ap our solution l’ensemble des éléments
(x, y, z)d eR
3
tels que z = 3x = 3y. L’application
f estdonc une rotation d’axe D, dirigé parlevecteur
(1, 1, 3).
Choisissons un vecteur x orthogonal àc et axe, par
exemple x = (1, −1, 0). On calcule son image:
f( x )=
−
1
3
,
4
3
,−
1
3
. D’où
x|f (x)
= −
5
3
et
cos θ =
x|f (x)
x 2 = −
5
6
. L’angle de la rotation est
donc en valeur absolue θ = Arccos
−
5
6
.
Pour orienter cet angle, calculons :
x ∧ f (x) =
1
3
,
1
3
, 1
;
en orientant l’axe D dans le sens du vecteur (1, 1, 3),
l’angle de la rotation est direct.
D
⊥
D
u
fx ()
fx ()
u
() uxu |
x
x
Doc. 10 Expression d’unerotation.
Plus généralement,c herchons l’image d’un vecteur x quelconque; on peut décomposer x en (Doc. 10) :
x = (u|x) u + x
où x
∈ D
⊥
On aalors :
f (x) = (u|x) u + f (x
) = (u|x) u +cos θ x
+sin θ u ∧ x
or u ∧ x
= u ∧ x, d’où:
f(x)=(u|x)u+cos θ (x − (u|x) u)+sin θ u ∧ x
f (x) = (u|x)(1−cos θ) u +cos θ x +sin θ u ∧ x
Cetterelation permet d’écrire la matrice la plus générale d’une rotation relativement
àune base orthonormale directe (cf. exercice 5).
Pour s’entraîner:ex. 3à5
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