COURS 26
Automorphismes orthogonaux
• Si f estlarotation d’axe D de vecteur unitaire e 1 d’angle θ (relativement
àl’orientation de D parlevecteur e 1 ), on complète e 1 en une base orthonormaled irecte b = (e 1 , e 2 , e 3 )( Doc. 6). La matrice de f dans cetteb ase
est:
A=
⎛
⎝
10
0
0c os θ − sin θ
0s in θ cos θ
⎞
⎠
• Si f estlaréflexion de plan P, on complète une base orthonormale (e 1 , e 2 )
de P en une baseo rthonormale b = (e 1 , e 2 , e 3 )d eE( Doc. 7). La matrice
de f dans cettebase est :
A =
⎛
⎝
10 0
01 0
00 − 1
⎞
⎠
• Si f estl ac omposée de la réflexion de plan P et de la rotation d’axe P
⊥
de vecteuru nitaire e 1 d’angle θ (relativement àl ’orientation de P
⊥
parl e
vecteur e 1 ), on complète e 1 en unebase orthonormale directe b = (e 1 , e 2 , e 3 )
(Doc. 8). La matrice de f dans cettebase est:
A=
⎛
⎝
−10
0
0c os θ − sin θ
0s in θ cos θ
⎞
⎠
5.3 • Étude d’une rotation de l’espace
D
⊥
D
u
e 2
e 3
fe () 3
fe () 2
e 1
Doc. 6 Rotation.
P
e 2
e 3
fe () 3
e 1
Doc. 7 Réflexion.
P
⊥
u
e 2
e 3
fe () 3
fe () 1
fe () 2
e 1
P
Doc. 8 Composée rotation-réflexion.
Soit f la rotation d’axe D dirigé parlevecteur unitaire u, d’angle θ (relativement àl’orientation de D induite par le vecteur u ).
D
⊥
D
u
fx ()
u
x
v
w
Doc. 9 Expression d’unerotation.
Cherchons l’imagep ar f d’un vecteur x orthogonal à D. Considéronsl es
vecteurs : v =
x
x
, w = u∧v ;lafamille (u, v, w)e st une base orthonormale
directede E (Doc. 9). f (v) = cos θ v +sin θ w, d’oùenmultipliant par x :
f (x) = cos θ x +sin θ u ∧ x
On en déduit :
x|f (x)
= x
2
cos θ ; x ∧ f (x) = x
2
sin θ u
Cesrelations peuvent servir àdéterminer l’angle d’une rotation.
APPLICATION 2
Reconnaîtreune rotation
Soit fl ’endomorphisme de R
3
canoniquement associé
àlamatrice :
A =
1
3
⎛
⎝
−2 −12
2 − 21
122
⎞
⎠
Montrer que fe st une rotation ;déterminer son axe et
son angle.
On vérifieq ue les vecteurs colonnes de la
matrice A formentu ne base orthonormale
de R
3
, donc f est un automorphisme or470