Automorphismes orthogonaux
COURS
26
Démonstration
Il suffit d’effectuerleproduit de matrices :
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
cos θ
− sin θ
sin θ
cos θ
=
cos(θ + θ
) − sin(θ + θ
)
sin(θ + θ
)c os(θ + θ
)
5 Automorphismes orthogonaux
de l’espace
5.1 • Automorphismes orthogonauxendimension 3
Soit E un espace vectoriele uclidien de dimension 3o rienté, f un automorphisme orthogonalde E et F = Ker(f−Id E )l ’ensemble des vecteurs invariants
par f .
F
⊥
F
u
Doc. 4 Rotation d’axe F .
P
a
fa ( )
Doc. 5 Réflexion de plan P.
• Si dim F = 3, F = E, f = Id E .
• Si dim F = 2, F est un plan, c’est-à-dire un hyperpland e E. f est la
réflexionpar rapport au plan F . Son déterminant est −1.
• Si dim F = 1, F est une droite, F
⊥
est un plan ;larestriction de f à F
⊥
est un automorphismeorthogonal de F
⊥
qui n’a pas de vecteurinvariant non
nul :c’est une rotation du plan F
⊥
, composée de deux réflexions d’axes D 1 ,
D 2 dans le plan F
⊥
.
f est la composée des réflexions de l’espace par rapport aux plans D 1 + F ,
D 2 + F . Elleappelée rotation d’axe F . Son déterminant est +1.
Pour attribueru na ngle àc ette rotation, il faut orienter la droite F , ce qui
induit une orientation du plan F
⊥
conformément àl’orientation de l’espace.
On appellera alors angle de la rotation f l’angle de sa restriction au plan orienté
F
⊥
(Doc. 4).
• Si dim F = 0, F = {0}. Soit a un vecteurnon nul de E, s la réflexion
par rapport au planm édiateur de [a, f (a)]. L’automorphisme orthogonal
s ◦f laisse a invariant ;c omme ce n’est ni l’identité de E ni une réflexion,
c’est nécessairement une rotation, c’est-à-dire la composée de deux réflexions
(Doc. 5). En définitive, f est la composée de trois réflexions ;son déterminant
est −1.
Remarque :Alors qu’en dimension 2lasymétrie centrale −Id E est unerotation, en
dimension3c’est la composéedetrois réflexions :son déterminant est −1.
En conclusion, les automorphismes orthogonaux d’un espace vectoriel euclidien de
dimension 3sont les rotations (dont l’identité), les réflexions, et les composées de
troisréflexions. L’ensemble des rotations est le groupe spécial orthogonal SO(E).
Tout automorphisme orthogonal de l’espace estl ac omposée d’au plus trois réflexions :les réflexions engendrent le groupe O(E).
5.2 • Groupe O(3)
La forme de la matrice d’un automorphisme orthogonal f d’un espace de dimension 3relativement àune base orthonormale quelconque peut être compliquée et
difficilement reconnaissable. Nous nous contenterons de donner la matrice de f
dans une base orthonormale convenablement choisie.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Démonstration
Il suffit d’effectuerleproduit de matrices :
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
cos θ
− sin θ
sin θ
cos θ
=
cos(θ + θ
) − sin(θ + θ
)
sin(θ + θ
)c os(θ + θ
)
5 Automorphismes orthogonaux
de l’espace
5.1 • Automorphismes orthogonauxendimension 3
Soit E un espace vectoriele uclidien de dimension 3o rienté, f un automorphisme orthogonalde E et F = Ker(f−Id E )l ’ensemble des vecteurs invariants
par f .
F
⊥
F
u
Doc. 4 Rotation d’axe F .
P
a
fa ( )
Doc. 5 Réflexion de plan P.
• Si dim F = 3, F = E, f = Id E .
• Si dim F = 2, F est un plan, c’est-à-dire un hyperpland e E. f est la
réflexionpar rapport au plan F . Son déterminant est −1.
• Si dim F = 1, F est une droite, F
⊥
est un plan ;larestriction de f à F
⊥
est un automorphismeorthogonal de F
⊥
qui n’a pas de vecteurinvariant non
nul :c’est une rotation du plan F
⊥
, composée de deux réflexions d’axes D 1 ,
D 2 dans le plan F
⊥
.
f est la composée des réflexions de l’espace par rapport aux plans D 1 + F ,
D 2 + F . Elleappelée rotation d’axe F . Son déterminant est +1.
Pour attribueru na ngle àc ette rotation, il faut orienter la droite F , ce qui
induit une orientation du plan F
⊥
conformément àl’orientation de l’espace.
On appellera alors angle de la rotation f l’angle de sa restriction au plan orienté
F
⊥
(Doc. 4).
• Si dim F = 0, F = {0}. Soit a un vecteurnon nul de E, s la réflexion
par rapport au planm édiateur de [a, f (a)]. L’automorphisme orthogonal
s ◦f laisse a invariant ;c omme ce n’est ni l’identité de E ni une réflexion,
c’est nécessairement une rotation, c’est-à-dire la composée de deux réflexions
(Doc. 5). En définitive, f est la composée de trois réflexions ;son déterminant
est −1.
Remarque :Alors qu’en dimension 2lasymétrie centrale −Id E est unerotation, en
dimension3c’est la composéedetrois réflexions :son déterminant est −1.
En conclusion, les automorphismes orthogonaux d’un espace vectoriel euclidien de
dimension 3sont les rotations (dont l’identité), les réflexions, et les composées de
troisréflexions. L’ensemble des rotations est le groupe spécial orthogonal SO(E).
Tout automorphisme orthogonal de l’espace estl ac omposée d’au plus trois réflexions :les réflexions engendrent le groupe O(E).
5.2 • Groupe O(3)
La forme de la matrice d’un automorphisme orthogonal f d’un espace de dimension 3relativement àune base orthonormale quelconque peut être compliquée et
difficilement reconnaissable. Nous nous contenterons de donner la matrice de f
dans une base orthonormale convenablement choisie.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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