COURS 26
Automorphismes orthogonaux
a invariant;comme ce n’estpas l’identité de E, il s’agit d’une réflexion s
. En
définitive f = s ◦ s
. f est la composéededeux réflexions ;son déterminant
est+ 1 .Pour tout vecteur x de E, l’angleorienté (x, f (x)) est le double de
l’angle des axes des deux réflexions :c’est une constante θ. f estlarotation
vectorielle d’angle θ (Doc. 1).
a
s
s
fa ( )
u
Doc. 1 Rotation d’angle θ .
Remarque :Par exemple, la symétrie centrale −Id E est la rotationv ectorielle
d’angle π.
En conclusion, les automorphismes orthogonaux du plan euclidiens ont les rotations (dont l’identité) et les réflexions. L’ensemble des rotations est le groupe
spécialorthogonal SO(E).
Tout automorphisme orthogonal du plan estlacomposée d’au plus deux réflexions :
les réflexions engendrent le groupe O(E).
4.2 • Groupe O(2)
Soit A unematrice orthogonale d’ordre 2. A est la matrice d’un automorphisme
orthogonal f dans une base orthonormale b = (e 1 , e 2 )q ue l’on peut choisir
directe.
e
1
e
2
e 2
e 1
u
Doc. 2 Rotation.
e
1
e
2
e 2
e 1
u
Doc. 3 Réflexion.
• Si det A = 1, f est une rotation,q ui transforme la base b en uneb ase
orthonormale directe b
= (e
1 , e
2 ). Comme e
1 = 1, il existe θ ∈ R tel
que e
1 = cos θ e 1 +sin θ e 2 . e
2 estl’image de e
1 par la rotation d’angle +
π
2
:
e
2 = − sin θ e 1 +cos θ e 2 (Doc. 2).D’où la matrice A :
A =
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
• Si det A = −1, f est une réflexion, qui transforme la base b en une base
orthonormale rétrograde b
= (e
1 , e
2 ). Comme e
1 = 1, il existe θ ∈ R
telq ue e
1 = cos θ e 1 +sin θ e 2 . e
2 estl ’image de e
1 par la rotation d’angle
−
π
2
: e
2 = sin θ e 1 − cos θ e 2 (Doc. 3). D’où la matrice A :
A =
cos θ
sin θ
sin θ − cos θ
Remarque :Larotation vectorielle d’angle θ alamême matrice dans toutes les bases
orthonormalesdirectes, alors quelamatrice d’une réflexion dépend de la base choisie ;
en prenant e 1 sur l’axe Dd elaréflexion et e 2 sur la droiteD
⊥
,la matrice de la
réflexion devient :
A =
10
0 − 1
4 . 3 • Composition desrotations planes
Théorème 8
La composée desrotations vectorielles d’angles θ et θ
est la rotation vectorielle
d’angle θ + θ
. Autrement dit, l’application qui à θ faitcorrespondre la rotation
d’angle θ est un morphisme de groupes de R dans O(E).
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Automorphismes orthogonaux
a invariant;comme ce n’estpas l’identité de E, il s’agit d’une réflexion s
. En
définitive f = s ◦ s
. f est la composéededeux réflexions ;son déterminant
est+ 1 .Pour tout vecteur x de E, l’angleorienté (x, f (x)) est le double de
l’angle des axes des deux réflexions :c’est une constante θ. f estlarotation
vectorielle d’angle θ (Doc. 1).
a
s
s
fa ( )
u
Doc. 1 Rotation d’angle θ .
Remarque :Par exemple, la symétrie centrale −Id E est la rotationv ectorielle
d’angle π.
En conclusion, les automorphismes orthogonaux du plan euclidiens ont les rotations (dont l’identité) et les réflexions. L’ensemble des rotations est le groupe
spécialorthogonal SO(E).
Tout automorphisme orthogonal du plan estlacomposée d’au plus deux réflexions :
les réflexions engendrent le groupe O(E).
4.2 • Groupe O(2)
Soit A unematrice orthogonale d’ordre 2. A est la matrice d’un automorphisme
orthogonal f dans une base orthonormale b = (e 1 , e 2 )q ue l’on peut choisir
directe.
e
1
e
2
e 2
e 1
u
Doc. 2 Rotation.
e
1
e
2
e 2
e 1
u
Doc. 3 Réflexion.
• Si det A = 1, f est une rotation,q ui transforme la base b en uneb ase
orthonormale directe b
= (e
1 , e
2 ). Comme e
1 = 1, il existe θ ∈ R tel
que e
1 = cos θ e 1 +sin θ e 2 . e
2 estl’image de e
1 par la rotation d’angle +
π
2
:
e
2 = − sin θ e 1 +cos θ e 2 (Doc. 2).D’où la matrice A :
A =
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
• Si det A = −1, f est une réflexion, qui transforme la base b en une base
orthonormale rétrograde b
= (e
1 , e
2 ). Comme e
1 = 1, il existe θ ∈ R
telq ue e
1 = cos θ e 1 +sin θ e 2 . e
2 estl ’image de e
1 par la rotation d’angle
−
π
2
: e
2 = sin θ e 1 − cos θ e 2 (Doc. 3). D’où la matrice A :
A =
cos θ
sin θ
sin θ − cos θ
Remarque :Larotation vectorielle d’angle θ alamême matrice dans toutes les bases
orthonormalesdirectes, alors quelamatrice d’une réflexion dépend de la base choisie ;
en prenant e 1 sur l’axe Dd elaréflexion et e 2 sur la droiteD
⊥
,la matrice de la
réflexion devient :
A =
10
0 − 1
4 . 3 • Composition desrotations planes
Théorème 8
La composée desrotations vectorielles d’angles θ et θ
est la rotation vectorielle
d’angle θ + θ
. Autrement dit, l’application qui à θ faitcorrespondre la rotation
d’angle θ est un morphisme de groupes de R dans O(E).
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