Automorphismes orthogonaux
COURS
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On appelle réflexion unesymétrie orthogonale par rapport àunhyperplan. C’est
un automorphisme orthogonal de déterminant −1( penser àsamatrice dans une
base convenablement choisie).
3.2 • Ensemble desvecteurs invariants
par un automorphisme orthogonal
Soit E un espace vectoriele uclidien, et f un automorphisme orthogonal de
E. L’ensemble desv ecteurs de E invariants par f est le sous-espace vectoriel
F = Ker (f − Id E ).
Montrons que le sous-espace F
⊥
est stable par f :
Soit x ∈ F
⊥
∀y ∈ F (f (x) |y) = (f (x) | f (y)) = (x|y) = 0:
f( x )∈F
⊥
.
Donc f (F
⊥
) ⊂ F
⊥
.
La restrictionde f à F
⊥
→F
⊥
est un automorphisme orthogonal de F
⊥
.
Théorème 7
Un automorphismeo rthogonal dont l’ensemble des vecteurs invariants estu n
hyperplan H est la réflexion par rapport à H .
Démonstration
Le sous-espace H
⊥
est une droite.L ar estriction de f à H
⊥
→ H
⊥
estu n
automorphisme orthogonal de H
⊥
, distinct de Id H ⊥ (sinon,l ’ensemble des
vecteurs invariants par f serait E tout entier). C’est nécessairement −Id H ⊥ .
Pour tout vecteur x de E se décomposant en x = x 1 + x 2 avec x 1 ∈ H ,
x 2 ∈ H
⊥
, f (x) = x 1 − x 2 : f est la réflexion par rapport àl’hyperplan H .
Ce théorème va nous permettre de donner une classification des automorphismes
orthogonaux du plan et de l’espace, en discutant suivant la dimension du sousespace F .
Pours’entraîner :ex. 2
4 Automorphismes orthogonaux
du plan
4.1 • Automorphismes orthogonaux en dimension 2
Soit E un plan euclidien(dim E = 2)orienté, f un automorphismeorthogonal
de E et F = Ker(f −Id E )l ’ensemble des vecteurs invariants par f .
• Si dim F = 2, F = E, f = Id E .
• Si dim F = 1, F est une droite vectorielle, c’est-à-dire un hyperplan de E.
f est la réflexionpar rapport àladroite F . Son déterminant est −1.
• Si dim F = 0, F = {0}. Soit a un vecteurnon nul de E, s la réflexion par
rapportàla médiatrice de [a, f (a)]. L’automorphisme orthogonal s ◦f laisse
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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