COURS 26
Automorphismes orthogonaux
Une matrice orthogonale, et par conséquent un automorphisme orthogonal, a
nécessairement pour déterminant 1o u− 1 .
Théorème 5
L’ensemble des matrices orthogonales d’ordre n dont le déterminant est égal
à1est un sous-groupe de O(n), appelé groupe spécial orthogonal d’ordre n
et noté SO(n).
L’ensemble des automorphismes orthogonaux d’un espace vectoriel euclidien E
dont le déterminant est égal à1estu ns ous-groupe de O(E), appelé groupe
spécialorthogonal de E et noté SO(E).
Démonstration
SO(n)e st le noyau du morphisme de groupes de O(n)d ans {−1, 1} :
A
→ DetA.
SO(E)e st le noyau du morphisme de groupes de O(E)d ans {−1, 1} :
f
→ Detf .
3 Symétriesetréflexions
3.1 • Symétriesorthogonales
Un premier exemple d’automorphisme orthogonal nous est donné par une symétrie
orthogonale,c’est-à-dire la symétrie par rapport àunsous-espace F parallèlement
à F
⊥
:
Théorème 6
Une symétrie estu na utomorphisme orthogonal si et seulement si c’est une
symétrie orthogonale.
Démonstration
1) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E et s la
symétrie parrapport à F parallèlementà G. Supposons que s ∈O(E).
∀(x,y)∈F×G (x|y)=(s(x)|s(y)) = (x|−y)=−(x|y)d ’où (x|y) = 0
F et G sont orthogonaux et supplémentaires, donc s est une symétrie orthogonale.
2) Soit F un sous-espacevectoriel de E et s la symétrie orthogonale par rapport
à F . Pour tout x et tout y de E, on peut écrire x = x 1 + x 2 et y = y 1 + y 2
avec (x 1 , y 1 ) ∈ F et (x 2 , y 2 ) ∈ F
⊥
.
(x|y) = (x 1 + x 2 |y 1 + y 2 )
= (x 1 |y 1 )+(x 2 |y 2 )
(s(x)|s(y)) = (x 1 − x 2 |y 1 − y 2 ) = (x 1 |y 1 )+(x 2 |y 2 )
donc s conserve le produit scalaire ;c’est un automorphisme orthogonal.
ATTENTION
Il ne fautpas se fier àl’apparente évidencedel’énoncé de ce théorème. Une
projection orthogonale pare xemple
n’est jamais un automorphisme orthogonal sauf si c’est l’identité de E !
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