Automorphismes orthogonaux
COURS
26
2 Matrices orthogonales
2.1 • Matriced’un automorphisme orthogonal
dans une base orthonormale
IMPORTANT
Ceparagraphen’ est pasauprogramme des étudiants de PTSI qui
n’ont paschoisi l’option PSI.
Soit E un espace vectoriele uclidien, b = (e 1 , ··· ,e n )u ne base orthonormale
de E, et f un endomorphisme de E. Considérons la matrice A représentative
de f dans la base b :
A = M b (f ) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 11 a 12 ··· a 1n
a 21 a 22 ··· a 2n
. . .
. . .
. . .
a n1 a n2 ··· a nn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
f est orthogonal si et seulement si la familledevecteurs colonnes
(X 1 , X 2 , ··· ,X n )
est orthonormale, c’est-à-dire si :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , n ]]
t
X i X j = δ ij
ce qui exprime que :
t
AA = I n , c’est-à-dire :
t
A = A
−1
.
Remarque :Onaaussi :A
t
A=I n .
RAPPEL
δij est le symbole de Kronecker :
δij = 0s ii = j
δ ij = 1s ii = j
On appelle matrice orthogonale une matrice de M n (R)i nversible dont l’inverse
est égale àlatransposée.
Nousvenons de montrer que si un endomorphisme f est orthogonal, sa matrice
dans toute base orthonormale estorthogonale, et qu’il suffit que sa matrice dans
une base orthonormale donnée soit orthogonale pour que f soit orthogonal.
Notons de plus que puisqu’una utomorphisme orthogonal transforme une base
orthonormale en une baseorthonormale, la matrice de passage d’une base orthonormale àune autre est une matrice orthogonale. Étant donné deux bases dont la
matrice de passage est orthogonale, si l’une estorthonormale, l’autre l’est aussi.
2.2 • Groupe orthogonal d’ordre n
Théorème 4
L’ensembledes matrices orthogonales d’ordre n est un sous-groupe de GL n (R),
appelé groupe orthogonal d’ordre n et noté O(n).
Démonstration
C’est l’imaged ug roupe O(E)p ar l’isomorphisme f
→ M b (f )o ùEest un
espace vectoriel euclidien de dimension n, et b une baseorthonormale de E.
2.3 • Déterminant d’un automorphisme
ou d’une matrice orthogonal(e)
Soit A unem atrice orthogonale d’ordre n 3. De l’égalité :
t
AA = I n , on
déduit :D et
t
A DetA = 1, c’est-à-dire :( DetA)
2
= 1, d’où :D etA = ±1.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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2 Matrices orthogonales
2.1 • Matriced’un automorphisme orthogonal
dans une base orthonormale
IMPORTANT
Ceparagraphen’ est pasauprogramme des étudiants de PTSI qui
n’ont paschoisi l’option PSI.
Soit E un espace vectoriele uclidien, b = (e 1 , ··· ,e n )u ne base orthonormale
de E, et f un endomorphisme de E. Considérons la matrice A représentative
de f dans la base b :
A = M b (f ) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a 11 a 12 ··· a 1n
a 21 a 22 ··· a 2n
. . .
. . .
. . .
a n1 a n2 ··· a nn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
f est orthogonal si et seulement si la familledevecteurs colonnes
(X 1 , X 2 , ··· ,X n )
est orthonormale, c’est-à-dire si :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , n ]]
t
X i X j = δ ij
ce qui exprime que :
t
AA = I n , c’est-à-dire :
t
A = A
−1
.
Remarque :Onaaussi :A
t
A=I n .
RAPPEL
δij est le symbole de Kronecker :
δij = 0s ii = j
δ ij = 1s ii = j
On appelle matrice orthogonale une matrice de M n (R)i nversible dont l’inverse
est égale àlatransposée.
Nousvenons de montrer que si un endomorphisme f est orthogonal, sa matrice
dans toute base orthonormale estorthogonale, et qu’il suffit que sa matrice dans
une base orthonormale donnée soit orthogonale pour que f soit orthogonal.
Notons de plus que puisqu’una utomorphisme orthogonal transforme une base
orthonormale en une baseorthonormale, la matrice de passage d’une base orthonormale àune autre est une matrice orthogonale. Étant donné deux bases dont la
matrice de passage est orthogonale, si l’une estorthonormale, l’autre l’est aussi.
2.2 • Groupe orthogonal d’ordre n
Théorème 4
L’ensembledes matrices orthogonales d’ordre n est un sous-groupe de GL n (R),
appelé groupe orthogonal d’ordre n et noté O(n).
Démonstration
C’est l’imaged ug roupe O(E)p ar l’isomorphisme f
→ M b (f )o ùEest un
espace vectoriel euclidien de dimension n, et b une baseorthonormale de E.
2.3 • Déterminant d’un automorphisme
ou d’une matrice orthogonal(e)
Soit A unem atrice orthogonale d’ordre n 3. De l’égalité :
t
AA = I n , on
déduit :D et
t
A DetA = 1, c’est-à-dire :( DetA)
2
= 1, d’où :D etA = ±1.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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