COURS 26
Automorphismes orthogonaux
on fait apparaître des produitss calaires d’images de
vecteurs par f , qui sont égaux aux produits scalaires
de ces vecteurs, d’où:
f(αx+βy)−αf(x)−βf(y)
2
=(αx+βy)−αx−βy
2
=0
On en déduit : f (αx + βy) = α f (x)+βf(y):f est
linéaire.
Notons ques i f conserve le produit scalaire, elle
conserve la norme. Néanmoins, une application qui
conserve seulement la norme n’est pas nécessairement
linéaire :p ar exemple, si b = (e 1 , e 2 )e st une base
orthonormale,l ’application x
→→ x e 1 n’estp as
linéaire.
1.2 • Groupe orthogonalde E
Théorème 2
L’ensemble des automorphismes orthogonaux de E est un sous-grouped e
GL(E), appelé groupe orthogonal de E et noté O(E).
Démonstration
Id E est orthogonal ;lacomposée de deux automorphismes orthogonaux de E est
orthogonale ;l’inverse d’un automorphisme orthogonal estorthogonal.
1.3 • Imaged’une base orthonormale
Montrons qu’onp eut aussi caractériser un endomorphisme orthogonal par la
conservation du caractère orthonormal d’une base.
Théorème 3
Soit E un espace vectorieleuclidien, et b = (e 1 , ··· ,e n )u ne base orthonormale
de E. Un endomorphisme f de E est orthogonal si et seulement si la famille
f (b) = (f (e 1 ), ··· ,f (e n )) est une base orthonormale.
Démonstration
1) Soit f un endomorphismeorthogonal de E. f conserve le produitscalaire,
donc:
∀(i,j)∈[[ 1 , n ]]
2
( f ( e i ) | f ( e j )) = (e i |e j ) = δ ij
donc la famille (f (e 1 ), ··· ,f (e n )) est orthonormale ;comme elle a n éléments,
c’est une base.
2) Supposons que la famille f (b)s oit une base orthonormale. Pour tout vecteur
x = ξ 1 e 1 + ···+ξ n e n de E, f (x) = ξ 1 f (e 1 )+···+ξ n f (e n ). L’expression de la
norme étant la même dans toutes les bases orthonormales :
x = f (x) =
ξ 2
1 + ···+ξ 2
n
f conserve donc la norme :ilest orthogonal.
Remarque :Cet héorème prouve ques if est orthogonal, l’imaged etoute base
orthonormale est unebase orthonormale, mais pour démontrer qu’un endomorphisme
est orthogonal, il suffit de montrer que l’image d’une base orthonormale donnée est
orthonormale.
RAPPEL
δij est le symbole de Kronecker :
δij = 0s ii = j
δ ij = 1s ii = j
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Automorphismes orthogonaux
on fait apparaître des produitss calaires d’images de
vecteurs par f , qui sont égaux aux produits scalaires
de ces vecteurs, d’où:
f(αx+βy)−αf(x)−βf(y)
2
=(αx+βy)−αx−βy
2
=0
On en déduit : f (αx + βy) = α f (x)+βf(y):f est
linéaire.
Notons ques i f conserve le produit scalaire, elle
conserve la norme. Néanmoins, une application qui
conserve seulement la norme n’est pas nécessairement
linéaire :p ar exemple, si b = (e 1 , e 2 )e st une base
orthonormale,l ’application x
→→ x e 1 n’estp as
linéaire.
1.2 • Groupe orthogonalde E
Théorème 2
L’ensemble des automorphismes orthogonaux de E est un sous-grouped e
GL(E), appelé groupe orthogonal de E et noté O(E).
Démonstration
Id E est orthogonal ;lacomposée de deux automorphismes orthogonaux de E est
orthogonale ;l’inverse d’un automorphisme orthogonal estorthogonal.
1.3 • Imaged’une base orthonormale
Montrons qu’onp eut aussi caractériser un endomorphisme orthogonal par la
conservation du caractère orthonormal d’une base.
Théorème 3
Soit E un espace vectorieleuclidien, et b = (e 1 , ··· ,e n )u ne base orthonormale
de E. Un endomorphisme f de E est orthogonal si et seulement si la famille
f (b) = (f (e 1 ), ··· ,f (e n )) est une base orthonormale.
Démonstration
1) Soit f un endomorphismeorthogonal de E. f conserve le produitscalaire,
donc:
∀(i,j)∈[[ 1 , n ]]
2
( f ( e i ) | f ( e j )) = (e i |e j ) = δ ij
donc la famille (f (e 1 ), ··· ,f (e n )) est orthonormale ;comme elle a n éléments,
c’est une base.
2) Supposons que la famille f (b)s oit une base orthonormale. Pour tout vecteur
x = ξ 1 e 1 + ···+ξ n e n de E, f (x) = ξ 1 f (e 1 )+···+ξ n f (e n ). L’expression de la
norme étant la même dans toutes les bases orthonormales :
x = f (x) =
ξ 2
1 + ···+ξ 2
n
f conserve donc la norme :ilest orthogonal.
Remarque :Cet héorème prouve ques if est orthogonal, l’imaged etoute base
orthonormale est unebase orthonormale, mais pour démontrer qu’un endomorphisme
est orthogonal, il suffit de montrer que l’image d’une base orthonormale donnée est
orthonormale.
RAPPEL
δij est le symbole de Kronecker :
δij = 0s ii = j
δ ij = 1s ii = j
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