Automorphismes orthogonaux
COURS
26
1 Automorphisme orthogonal
d’un espace vectoriel euclidien
1.1 • Définition et caractérisation
IMPORTANT
Ceparagraphen’ est pasauprogramme des étudiants de PTSI qui
n’ont paschoisi l’option PSI.
Soit E un espace vectoriele uclidien. Un endomorphisme f de E est dit
orthogonal s’il conserve le produit scalaire, c’est-à-dire si :
∀(x, y) ∈ E
2
(f (x) | f (y)) = (x|y)
Théorème 1
Soit E un espace vectoriel euclidien. Un endomorphisme f de E est orthogonal si et seulement s’il conserve la norme, c’est-à-diresi:
∀x∈E f(x)=x
Démonstration
1) Soit f un endomorphismeorthogonal de E. f conserve le produit scalaire ;
en particulier:
∀x∈E f(x)
2
=(f(x)|f(x)) = (x|x) = x
2
f conserve la norme.
IMPORTANT
Voir chapitre 25,paragraphe 1.5.
2) Soit f un endomorphismede E qui conserve la norme ;d’après l’égalité de
polarisation,pour tout (x, y) ∈ E
2
:
f (x)|f (y)
=
1
4
f (x)+f(y)
2
−−f(x)−f(y)
2
=
1
4
f(x+y)
2
−−f(x−y)
2
=
1
4
x+y
2
−−x−y
2
= (x|y)
f conserve le produit scalaire :ilest orthogonal.
Il résulted ec et héorème qu’un endomorphisme orthogonal estn écessairement
bijectif ;eneffet :
f (x) = 0 ⇒⇒f(x)=0 ⇒⇒x=0 ⇒ x=0
donc Ker f = {0} ;c omme E estd ed imension finie, f est bijectif. On
parlera désormaisd’automorphisme orthogonal.
APPLICATION 1
Montrer qu’uneapplication de Ed ans Eq ui conserve
le produit scalaire est nécessairement linéaire. En est-il de
même d’une application qui conserve la norme ?
Supposons que f conserve le produits calaire ;s oit
x, y deux vecteurs de E, et α, β deux réels. En
développantl’expression :
f (αx + βy) − α f (x) − β f (y)
2
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