Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Pour tous vecteurs x et y d’un e.v. euclidien :
(x|y) x y
b) Pour tout vecteur x et tout réel k : kx = k x
c) Le seul vecteur orthogonal àtous les éléments de E est
le vecteurnul.
d) L’expression du produitscalaire estlamême dans toutes
les bases orthonormales.
e) Dans un espace vectoriel euclidien, un sous-espace vectoriel et son orthogonal sont supplémentaires.
f) Toute famille libre d’un espace vectoriel euclidien peut
être complétée en une base orthonormale.
g) Toute forme linéaire sur un espace vectoriel euclidien
associe àunvecteur son produit scalaire par un vecteur fixé.
Produit scalaire
2 Soit E l’espace vectoriel des fonctions de classe C
1
sur [0, 1]. Montrer que l’application de E
2
dans R définiepar :
(f | g) = f (0) g(0) +
1
0
f
(t)g
(t)dt
est un produit scalaire.
3 Soit E un espace vectoriel euclidien et f , g, deux
endomorphismes de E tels que :
∀x ∈ E f (x) = g(x)
Démontrer que :
∀(x, y) ∈ E
2
(f (x)|f (y)) = (g(x)|g(y))
4 Soit X unepartie quelconque d’un espace vectoriel
euclidien. Démontrer que :
(X
⊥
)
⊥
= Vect(X )
5 Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel euclidien E.
1) Montrer que : F ⊂ G =⇒ G
⊥
⊂ F
⊥
.
2) Comparer
(F + G)
⊥
et
F
⊥
∩ G
⊥
.
3) Comparer
(F ∩ G)
⊥
et
F
⊥
+ G
⊥
.
6 Soit p un projecteur d’un espace vectoriel euclidien
E. Démontrer que p est une projectionorthogonale si et
seulement si :
∀x ∈ E p(x) x
Bases orthonormales
7 Soit E l’espace vectoriel des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à n :
f (x) =
0i+jn
a ij cos
i
x sin
j
x
On munit E du produit scalaire défini par :
(f | g) =
1
π
2π
0
f (t) g(t)dt
Montrer que la famille :
1
√
2
, cos x, sin x, cos 2x, sin2x,··· ,cos nx, sin nx
est une base orthonormalede E. En déduire la dimension
de E.
8 Soit E un espace vectoriel euclidien, et (e 1 , ··· ,e n )
une famille de vecteurs unitaires de E telsque :
∀x ∈ E x
2
=
n
i=1
(x|e i )
2
Montrer que (e 1 , ··· ,e n )est une base orthonormale de E.
9 Soit E un espace vectoriele uclidien de dimension
3m uni d’une base orthonormale. Déterminer la matrice
dans cette base de la projection orthogonale sur la droite
vectorielle dirigée par le vecteur unitaire u = (α, β, γ).
En déduire la matrice dans cette même base de la projection
orthogonale sur le plan vectoriel de vecteurnormal unitaire
u, puis les matrices des symétries orthogonales par rapport
àces deux sous-espaces.
10 Orthonormaliser la basesuivante de R
4
(pour le produit scalaire habituel):
u 1 =(0, 1, 1, 1) u 2 = (1, 0, 1, 1)
u 3 = (1, 1, 0, 1) u 4 = (1, 1, 1, 0)
11 Montrer que l’application de R
3
× R
3
dans R :
((x 1 , x 2 , x 3 ), (y 1 , y 2 , y 3 ))
→ (x 1 − 2x 2 )(y 1 − 2y 2 )
+ x 2 y 2 +(x 2 +x 3 )(y 2 + y 3 )
est un produit scalairesur R
3
.
Orthonormaliser pourceproduit scalaire la base canonique
de R
3
.
Exercice posé aux oraux des concours
12 (CCP 2006)
Soit E un espace euclidienet f ∈L(E)t el que pour tout
x ∈ E : f (x) x .
1) Montrer que pour tous x ∈ E et k ∈ N :
f
k
(x) x .
2) Montrer que Ker (f − Id E ) ⊕ Im (f − Id E ) = E .
3) Déterminer lim
n→+∞
1
n
n−1
k=0
f
k
.
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
461