Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
ϕ est doncunproduit scalaire, (E, ϕ)e st un espace vectoriel euclidien de
dimension n +1.
Examinez les propriétés que doit vérifier
le polynôme L i
2) Pour tout j
= i, L i (j) = 0, ce qui entraîne que L i est divisible par
0jn
j =i
(X − j).
d’où :
L i (X ) =
0jn
j =i
(X − j) Q i (X )a vec Q i ∈ R[X ]
alors deg(L i ) = n +deg(Q i ), or deg(L i ) n, ce qui entraîne que Q i est
une constante q i . De plus
L i (i) = 1,
d’où :
0jn
j =i
(i − j) q i = 1
ce qui donne q i , et en définitive:
∀i∈[[ 1 , n ]] L i ( X ) =
0 j n
j = i
X − j
i − j
Ces polynômes ont déjà étéétudiés dans
l’exercice résoluduchapitre 12.
Les polynômes L i sont appeléspolynômes interpolateurs de Lagrange aux
points i, pour i ∈ [[ 0 , n ]] .
3) Calculons, pour tout (i, j) ∈ [[ 0 , n ]]
2
ϕ ( L i , L j ):
ϕ (L i ,L j )=
n
k = 0
L i (k)L j (k)=
n
k = 0
δ i , k δ j , k =δ j , i =
1s i i = j
0s i i = j
Il est inutile de vérifier d’abord que la famille est libre :ilsuffit de montrer qu’elle
est orthonormale.
La famille (L i , 0 i n)e st une famille de n +1 polynômes de E,
orthonormale donc libre :c’est une base de E.
4) Pour tout polynôme P ∈ E :
P =
n
i=0
ϕ(P, L i )L i =
n
i=0
n
k=0
P(k)L i (k)L i =
n
i=0
P(i)L i
Lesc oordonnées d’un vecteur dans une
baseorthonormale sont les produits scalaires de ce vecteurp ar les vecteurs de
base.
Lescoordonnées du polynôme P dans la base (L i )s ont les valeurs P(i)
prises par le polynôme aux points i ∈ [[ 0 , n ]] .
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