Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
Exercice résolu
POLYNÔMES INTERPOLATEURSDELAGRANGE
On considère l’espace vectoriel réel E = R n [X ] des polynômesdedegré inférieur ou égal àn,etl’application :
E
2
→
ϕ
R
(P, Q)
→
n
i=0
P(i) Q(i)
1 Montrer que ϕ estunproduit scalaire sur E.
2 Déterminer une famille de n +1 polynômes de E :(L i , 0in) telle que :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , n ]]
2
L i ( j ) = δ i , j
3 Montrer que (L i , 0 i n) est unebase orthonormée de (E, ϕ).
4 Donner lescoordonnées dans cette base d’un polynôme Pd eE .
Conseils
Solution
Appliquer le définition d’un produit scalaire.
1) Vérifions que ϕ est:
• symétrique :
∀(P, Q) ∈ E
2
,
ϕ(Q, P) =
n
i=0
Q(i) P(i)
=
n
i=0
P(i) Q(i) = ϕ(P, Q)
• bilinéaire :l as ymétrie permet de se limiter àl al inéarité par rapport àl ’une des deux variables ;p our tout (P, Q, R) ∈ E
3
et tout
(α, β) ∈ R
2
:
ϕ(αP + βQ, R) =
n
i=0
[αP(i)+βQ(i)] R(i)
= α
n
i=0
P(i) R(i)+β
n
i= 0
Q(i)R(i)
= αϕ (P,R)+βϕ(Q,R)
• définie positive :
∀P ∈ E, ϕ(P, P) =
n
i=0
P(i)
2
0
et : ϕ(P, P) = 0 ⇐⇒ ∀ i ∈ [[ 0 , n ]]
2
P ( i ) = 0
Le polynôme P, de degré inférieur ou égalà n , possède alors n +1
racines distinctes :c’est le polynôme nul.
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