Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
2) Soit E un espace vectoriele uclidien orienté de dimension 3e t x, y deux
vecteurs de E. L’applicationqui àuntroisième vecteur z associe le déterminant de la famille( x , y , z )d ans une base orthonormale directe, appelé produit
mixte et noté[ x , y , z ] ,est une forme linéaire sur E. Il existe doncunvecteur
X tel que pour tout z ∈ E, [x, y, z] = (X |z); on l’appelle produit vectoriel
de x et y et on le note x ∧ y. Ainsi :
∀(x, y, z) ∈ E
3
[x, y, z] = (x ∧ y | z)
3) Nous verrons, dans le chapitre 28 : Fonctionsdedeux variables,que la différentielle df d’unef onction f définie sur une partie de R
2
àv aleurs dans R
est une forme linéaire sur R
2
. Il existe donc un vecteur, appelé gradient de f
telque :
∀u ∈ R
2
df (u) = (Grad(f ) | u)
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’une application f de E × E dans R est un produit scalaire, on peut :
• montrer d’abord qu’elle est linéaire par rapport àlapremière variable;
• puis qu’elle est symétrique, ce qui établit la bilinéarité ;
• montrer ensuite qu’elle est positive :
∀x ∈ Ef ( x , x ) 0;
• et enfin que :
∀x ∈ Ef ( x , x ) = 0 ⇒ x = 0
(cf. exercice 2) .
Pour montrerqu’une application N de E dans R est une norme euclidienne, on peut lui associer l’application
f de E × E dans R, définie par :
f (x, y) =
1
4
N (x + y)
2
− N (x − y)
2
et vérifier que f est linéaire par rapport àlapremière variable (elle sera alors nécessairement bilinéaire symétrique
et définie positive).
Pour construire une base orthonormale, on peut partir d’une base quelconque et l’orthonormaliser par le procédé
de Schmidt (cf. Application 1etexercice 10 et 11)
...................................................................................................................................................................................................
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2) Soit E un espace vectoriele uclidien orienté de dimension 3e t x, y deux
vecteurs de E. L’applicationqui àuntroisième vecteur z associe le déterminant de la famille( x , y , z )d ans une base orthonormale directe, appelé produit
mixte et noté[ x , y , z ] ,est une forme linéaire sur E. Il existe doncunvecteur
X tel que pour tout z ∈ E, [x, y, z] = (X |z); on l’appelle produit vectoriel
de x et y et on le note x ∧ y. Ainsi :
∀(x, y, z) ∈ E
3
[x, y, z] = (x ∧ y | z)
3) Nous verrons, dans le chapitre 28 : Fonctionsdedeux variables,que la différentielle df d’unef onction f définie sur une partie de R
2
àv aleurs dans R
est une forme linéaire sur R
2
. Il existe donc un vecteur, appelé gradient de f
telque :
∀u ∈ R
2
df (u) = (Grad(f ) | u)
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’une application f de E × E dans R est un produit scalaire, on peut :
• montrer d’abord qu’elle est linéaire par rapport àlapremière variable;
• puis qu’elle est symétrique, ce qui établit la bilinéarité ;
• montrer ensuite qu’elle est positive :
∀x ∈ Ef ( x , x ) 0;
• et enfin que :
∀x ∈ Ef ( x , x ) = 0 ⇒ x = 0
(cf. exercice 2) .
Pour montrerqu’une application N de E dans R est une norme euclidienne, on peut lui associer l’application
f de E × E dans R, définie par :
f (x, y) =
1
4
N (x + y)
2
− N (x − y)
2
et vérifier que f est linéaire par rapport àlapremière variable (elle sera alors nécessairement bilinéaire symétrique
et définie positive).
Pour construire une base orthonormale, on peut partir d’une base quelconque et l’orthonormaliser par le procédé
de Schmidt (cf. Application 1etexercice 10 et 11)
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