Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
COURS
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Q 3
2
=
1
2
1
−1
t
3
−
3
5
t
2
dt =
4
175
,
d’où
P 3 =
Q 3
Q 3
=
√
7
2
(5X
3
− 3X )
et
L 3 =
1
2
(5X
3
− 3X ).
2) Supposons que le polynôme L n change k fois
de signe (k ∈ [[ 0 , n ]] )d ans l’intervalle ] − 1, 1[
pour les valeurs (x 1 , ··· ,x k )( ce sont les racines
d’ordrei mpair de L n ). Considéronsl ep olynôme
K = (X − x 1 ) ···(X − x k )( si k = 0, on posera
K = 1). Le produit KL n restep ositif sur ] − 1, 1[
sans être partout nul, donc :
1
−1
K (t)L n (t)dt > 0
c’est-à-dire
(K |L n )
>
0.
Comme
L n
est
orthogonal
au
sous-espace
vectoriel
Vect(L 0 , ··· ,L n−1 ) = R n−1 [X], on en déduit que
K est de degré n.
Le polynôme L n possèded onc n racines distinctes
dans ] − 1, 1[. Comme il est de degré n, il n’a pas
d’autres racines.
Pour s’entraîner:ex. 10 et 11
3.6 • Forme linéaire sur un espace vectoriel euclidien
La structure d’espace vectoriel euclidien permet de représenter une forme linéaire
par un vecteur unique.
Théorème 8
Soit E un espace vectorieleuclidien. Pour toute forme linéaire
f ∈L(E,R), il existe un vecteur y unique tel que :
∀x ∈ Ef ( x ) = ( x | y )
Démonstration
Àtout y de E on peut associer la formelinéaire
E →
θ y
R
x
→ (x|y)
.
L’application
E →
θ L(E, R)
y
→
θ y
est linéaire.Son noyau est:
Ker θ = { y ∈ E , ∀x ∈ E (x|y) = 0 } = E
⊥
= {0}
θ estdonc injective et comme dim E = dim L(E, R), elleest bijective.
θ estunisomorphisme de E dans L(E, R).
Toute forme linéaire f ad onc un antécédent unique par cet isomorphisme,
c’est-à-dire un vecteur y tel que pour tout x ∈ E : f (x) = (x|y).
Exemples :
1) C’estc et héorème qui permet de représenter un hyperplan H , noyaud ’une
forme linéaire non nulle, par un vecteurn ormal n :p our tout x ∈ E,
x ∈ H ⇐⇒ ( x | n ) = 0 .
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