COURS 25
Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
Projetons u 2 orthogonalement sur Vect(e
1 ): u 2 =λe
1 +v 2 .
(v 2 |e
1 )=(u 2 |e
1 )−λ(e
1 |e
1 )=1−2λ=0d ’où λ =
1
2
v 2 = u 2 −
1
2
e
1 =
1
2
, −
1
2
, 1
. Choisissons e
2 = 2v 2 = (1, −1, 2).
Projetons u 3 orthogonalement sur Vect (e
1 , e
2 ): u 3 =λ 1 e
1 +λ 2 e
2 +v 3 .
v 3 |e
1
=
u 3 |e
1
−λ 1
e
1 |e
1
=1−2λ 1 =0d ’où λ 1 =
1
2
v 3 |e
2
=
u 3 |e
2
− λ 2 (e
2 |e
2 ) = 1 − 6λ 2 = 0d ’où λ 2 =
1
6
v 3 = u 3 −
1
2
e
1 −
1
6
e
2 =
−
2
3
,
2
3
,
2
3
. Choisissons e
3 =
3
2
v 3 = (−1, 1, 1).
Il resteànormer les vecteurs trouvés :
e 1 =
e
1
e
1
=
1
√
2
,
1
√
2
, 0
e 2 =
e
2
e
2
=
1
√
6
, −
1
√ 6
,
2
√ 6
e 3 =
e
3
e
3
=
−
1
√ 3
,
1
√ 3
,
1
√ 3
APPLICATION 1
PolynômesdeLegendre
On munitl’espace vectoriel R n [X ] du produit scalaire
défini par :
(P|Q) =
1
2
1
−1
P(t)Q(t)dt
Soit (P 0 , P 1 , ··· ,P n ) la base orthonormalisée de la base
canonique (1, X , ··· ,X
n
). Pour tout k ∈ [[ 0 , n ]] , on
pose :
L k =
1
√ 2k +1
P k .
1) Calculer les polynômesL 0 àL 3 .
2) Démontrerque pour tout n, le polynôme L n possède
nr acines réelles distinctes appartenant toutes àl ’intervalle ] − 1, 1[.
1) P 0 =
1
1
= 1, d’où L 0 = 1.
Posons :
Q 1 = X −
(X |L 0 )
(L 0 |L 0 )
L 0 = X .
Q 1
2
=
1
2
1
−1
t
2
dt =
1
3
,
d’où
P 1 =
Q 1
Q 1
=
√
3X et L 1 = X .
Posons :
Q 2 = X
2
−
(X
2
|L 0 )
(L 0 |L 0 )
L 0 −
(X
2
|L 1 )
(L 1 |L 1 )
L 1 = X
2
−
1
3
.
Q 2
2
=
1
2
1
−1
t
2
−
1
3
2
dt =
4
45
,
d’où
P 2 =
Q 2
Q 2
=
√ 5
2
(3X
2
− 1)
et
L 2 =
1
2
(3X
2
− 1).
Posons:
Q 3 =X
3
−
(X
3
|L 0 )
(L 0 |L 0 )
L 0 −
(X
3
|L 1 )
(L 1 |L 1 )
L 1 −
(X
3
|L 2 )
(L 2 |L 2 )
L 2
=X
3
−
3
5
X.
456