Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
COURS
25
3.5 • Orthonormalisation
Le théorème suivantdonne un algorithme, appelé méthode d’orthonormalisation
de Schmidt pour construire une base orthonormale àpartir d’une base quelconque.
Théorème 7
Soit E un espace vectoriel euclidien, et b = (u 1 , ··· ,u n )u ne base quelconque
de E.
Il existe une base orthonormale unique b
= (e 1 , ··· ,e n )t elle que :
1) ∀k ∈ [[ 1 , n ]] Vect(e 1 , ··· ,e k ) = Vect(u 1 , ··· ,u k ).
2) ∀k ∈ [[ 1 , n ]] ( e k | u k ) > 0 .
Démonstration
Raisonnons par récurrence sur k ∈ [[ 1 , n ]] .
Pour k = 1, il existe bien un vecteur unitaireunique colinéaire à u 1 et de même
sens :
e 1 =
u 1
u 1
.
Soit pour k n − 1u ne famille orthonormale (e 1 , ··· ,e k )r épondant àl a
question.
On veutmontrer l’existence et l’unicité d’un vecteur e k+1 tel que :
a) e k+1 ∈ Vect(u 1 , ··· ,u k+1 ) = Vect(e 1 , ··· ,e k ,u k+1 ).
b) La famille (e 1 , ··· ,e k+1 )s oit orthonormale.
c) (e k+1 |u k+1 ) > 0.
Projetons orthogonalement u k+1 sur le sous-espace F k = Vect(e 1 , ··· ,e k ):
u k +1 = (u k+1 |e 1 )e 1 + ···+(u k+1 |e k )e k + v k+1
où v k+1 ∈ F
⊥
k . On abien :
a) v k+1 ∈ Vect(e 1 , ··· ,e k ,u k+1 ).
b) La famille (e 1 , ··· ,e k ,v k+1 )e st orthogonale (mais pas encore orthonormale,
car v k+1 n’est pas nécessairement unitaire).
c) Comme (v k+1 |u k+1 − v k+1 ) = 0, (v k+1 |u k+1 ) = v k+1
2
> 0.
Il reste ànormer v k+1 en le divisant par sa norme : e k+1 =
v k+1
v k+1
.
e k+1 est l’unique vecteursatisfaisant aux trois conditions imposées.
En opérantl ar écurrence jusqu’au rang n, on obtientu ne base orthonormale
unique (e 1 , ··· ,e n )r épondant aux conditions de l’énoncé.
Remarque :Dans la pratique, pour alléger les calculs, on peut chercher d’abord une
base uniquement orthogonale
e
1 , ··· ,e
n
, puis àl af in normer les vecteurs en les
divisant parleur norme.
Exemple: R
3
est muni de son produit scalaire canonique. Orthonormalisons la
base :
u 1 = (1, 1, 0) ; u 2 = (1, 0, 1) ; u 3 = (0, 1, 1)
Posons
e
1 = u 1 = (1, 1, 0)
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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3.5 • Orthonormalisation
Le théorème suivantdonne un algorithme, appelé méthode d’orthonormalisation
de Schmidt pour construire une base orthonormale àpartir d’une base quelconque.
Théorème 7
Soit E un espace vectoriel euclidien, et b = (u 1 , ··· ,u n )u ne base quelconque
de E.
Il existe une base orthonormale unique b
= (e 1 , ··· ,e n )t elle que :
1) ∀k ∈ [[ 1 , n ]] Vect(e 1 , ··· ,e k ) = Vect(u 1 , ··· ,u k ).
2) ∀k ∈ [[ 1 , n ]] ( e k | u k ) > 0 .
Démonstration
Raisonnons par récurrence sur k ∈ [[ 1 , n ]] .
Pour k = 1, il existe bien un vecteur unitaireunique colinéaire à u 1 et de même
sens :
e 1 =
u 1
u 1
.
Soit pour k n − 1u ne famille orthonormale (e 1 , ··· ,e k )r épondant àl a
question.
On veutmontrer l’existence et l’unicité d’un vecteur e k+1 tel que :
a) e k+1 ∈ Vect(u 1 , ··· ,u k+1 ) = Vect(e 1 , ··· ,e k ,u k+1 ).
b) La famille (e 1 , ··· ,e k+1 )s oit orthonormale.
c) (e k+1 |u k+1 ) > 0.
Projetons orthogonalement u k+1 sur le sous-espace F k = Vect(e 1 , ··· ,e k ):
u k +1 = (u k+1 |e 1 )e 1 + ···+(u k+1 |e k )e k + v k+1
où v k+1 ∈ F
⊥
k . On abien :
a) v k+1 ∈ Vect(e 1 , ··· ,e k ,u k+1 ).
b) La famille (e 1 , ··· ,e k ,v k+1 )e st orthogonale (mais pas encore orthonormale,
car v k+1 n’est pas nécessairement unitaire).
c) Comme (v k+1 |u k+1 − v k+1 ) = 0, (v k+1 |u k+1 ) = v k+1
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> 0.
Il reste ànormer v k+1 en le divisant par sa norme : e k+1 =
v k+1
v k+1
.
e k+1 est l’unique vecteursatisfaisant aux trois conditions imposées.
En opérantl ar écurrence jusqu’au rang n, on obtientu ne base orthonormale
unique (e 1 , ··· ,e n )r épondant aux conditions de l’énoncé.
Remarque :Dans la pratique, pour alléger les calculs, on peut chercher d’abord une
base uniquement orthogonale
e
1 , ··· ,e
n
, puis àl af in normer les vecteurs en les
divisant parleur norme.
Exemple: R
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est muni de son produit scalaire canonique. Orthonormalisons la
base :
u 1 = (1, 1, 0) ; u 2 = (1, 0, 1) ; u 3 = (0, 1, 1)
Posons
e
1 = u 1 = (1, 1, 0)
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