COURS 25
Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
• Soit n un entier naturel tel que tout espace vectoriel euclidien de dimension
n possèdeu ne base orthonormale. Soit E un espace vectoriel euclidien de
dimension n +1. Comme dim E > 0, E contient au moinsunvecteur non
nul u. L’ensembled es vecteurs orthogonaux à u est le noyau de la forme
linéaire x → (x|u):c’est donc un sous-espace vectoriel de E de dimension n ;d ’après l’hypothèse de récurrence, il possède une base orthonormale
(e 1 , ··· ,e n ). Le vecteur e n+1 =
u
u
est unitaire ;lafamille (e 1 , ··· ,e n ,e n+1 )
est orthonormaleetelle a n +1 éléments :c’est une base orthonormale de E.
Par récurrence, pour tout n ∈ N, tout espace vectoriel euclidien de dimension n
possèdeune base orthonormale.
3.3 • Supplémentaire orthogonal
Théorème 6
Si E est un espace vectoriel euclidien, l’orthogonal d’un sous-espace
vectoriel F est un supplémentaire de F , appelé supplémentaire orthogonal
de F :
F ⊕ F
⊥
= E
Démonstration
Soit (e 1 , ··· ,e p )u ne base orthonormale de F . Pourtout vecteur x de E, le
vecteur x −
p
i=1
(x|e i )e i est orthogonal àchaque vecteur e i ;i lappartient donc à
F
⊥
. On en déduit que E = F + F
⊥
.
De plus, pour tout x ∈ F ∩ F
⊥
, (x|x) = 0, d’où x = 0. On ad onc
F ∩ F
⊥
= {0}, et par conséquent E = F ⊕ F
⊥
. Les sous-espaces F et F
⊥
sont supplémentaires.
Il résultedecethéorème que toute famille orthonormale peut être complétée en
une base orthonormale. En effet,silafamille orthonormale (e 1 , ··· ,e p )e ngendre
le sous-espacevectoriel F , il suffit de la compléter par une baseorthonormale de
F
⊥
pour obtenir une base orthonormale de E.
Pour s’entraîner:ex. 4et5
3.4• Projection orthogonale
Soit E un espace vectoriel euclidien et F un sous-espace vectoriel de E. On
appelle projectiono rthogonale sur F la projection p sur F parallèlementà
F
⊥
. Àtoutvecteur x de E qui se décomposeen: x=x 1 +x 2 avec x 1 ∈ F ,
x 2 ∈ F
⊥
, l’application p associe x 1 .
Si (e 1 , ··· ,e p )e st une base orthonormale de F , nousavons déjà remarqué que
x −
p
i=1
x|e i
e i appartenait à F
⊥
;o nadonc :
p(x) =
p
i=1
(x|e i )e i
De même, on appelle symétrie orthogonale parrapport à F la symétrie s par
rapport à F parallèlementà F
⊥
. Comme s = 2p − Id E , pour tout vecteur x
de E :
s(x) = 2
p
i=1
(x|e i )e i − x
Pour s’entraîner :ex. 6et9
454
Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
• Soit n un entier naturel tel que tout espace vectoriel euclidien de dimension
n possèdeu ne base orthonormale. Soit E un espace vectoriel euclidien de
dimension n +1. Comme dim E > 0, E contient au moinsunvecteur non
nul u. L’ensembled es vecteurs orthogonaux à u est le noyau de la forme
linéaire x → (x|u):c’est donc un sous-espace vectoriel de E de dimension n ;d ’après l’hypothèse de récurrence, il possède une base orthonormale
(e 1 , ··· ,e n ). Le vecteur e n+1 =
u
u
est unitaire ;lafamille (e 1 , ··· ,e n ,e n+1 )
est orthonormaleetelle a n +1 éléments :c’est une base orthonormale de E.
Par récurrence, pour tout n ∈ N, tout espace vectoriel euclidien de dimension n
possèdeune base orthonormale.
3.3 • Supplémentaire orthogonal
Théorème 6
Si E est un espace vectoriel euclidien, l’orthogonal d’un sous-espace
vectoriel F est un supplémentaire de F , appelé supplémentaire orthogonal
de F :
F ⊕ F
⊥
= E
Démonstration
Soit (e 1 , ··· ,e p )u ne base orthonormale de F . Pourtout vecteur x de E, le
vecteur x −
p
i=1
(x|e i )e i est orthogonal àchaque vecteur e i ;i lappartient donc à
F
⊥
. On en déduit que E = F + F
⊥
.
De plus, pour tout x ∈ F ∩ F
⊥
, (x|x) = 0, d’où x = 0. On ad onc
F ∩ F
⊥
= {0}, et par conséquent E = F ⊕ F
⊥
. Les sous-espaces F et F
⊥
sont supplémentaires.
Il résultedecethéorème que toute famille orthonormale peut être complétée en
une base orthonormale. En effet,silafamille orthonormale (e 1 , ··· ,e p )e ngendre
le sous-espacevectoriel F , il suffit de la compléter par une baseorthonormale de
F
⊥
pour obtenir une base orthonormale de E.
Pour s’entraîner:ex. 4et5
3.4• Projection orthogonale
Soit E un espace vectoriel euclidien et F un sous-espace vectoriel de E. On
appelle projectiono rthogonale sur F la projection p sur F parallèlementà
F
⊥
. Àtoutvecteur x de E qui se décomposeen: x=x 1 +x 2 avec x 1 ∈ F ,
x 2 ∈ F
⊥
, l’application p associe x 1 .
Si (e 1 , ··· ,e p )e st une base orthonormale de F , nousavons déjà remarqué que
x −
p
i=1
x|e i
e i appartenait à F
⊥
;o nadonc :
p(x) =
p
i=1
(x|e i )e i
De même, on appelle symétrie orthogonale parrapport à F la symétrie s par
rapport à F parallèlementà F
⊥
. Comme s = 2p − Id E , pour tout vecteur x
de E :
s(x) = 2
p
i=1
(x|e i )e i − x
Pour s’entraîner :ex. 6et9
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