Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
COURS
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3 Espaces euclidiens (dimension finie)
On appelle espace vectoriel euclidien un espace vectoriel réel de dimensionfinie
muni d’un produitscalaire.
3.1 • Basesorthonormales
Si E est un espace vectoriel euclidien de dimension n, toute famille orthonormale
à n éléments est une base de E appelée base orthonormale.
L’intérêt de ce type de base provient de l’expression particulièrement simple du
produitscalaire en fonctiondes coordonnées :soit (e 1 , ··· ,e n )u ne base orthonormale :
• Si x = x 1 e 1 + ···+x n e n et y = y 1 e 1 + ···+y n e n :
(x|y) = x 1 y 1 +···+x n y n
et
x =
x 2
1 + ···+x 2
n
On reconnaît l’exemple de produit scalaire donné dans R
n
, qui sert donc de
modèle pour tout produit scalaire en dimension finie, àc ondition d’utiliser une
base orthonormale.
IMPORTANT
On se permet d’identifier une matrice
carrée d’ordre 1etson unique coefficient.
Matriciellement, si on représente les coordonnées de x et y par des matrices
unicolonnes X et Y :
(x|y) =
t
XY et x =
√ t XX
Remarquons égalementque les coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormale sont les produits scalaires de ce vecteur par les vecteurs de base :
• Si x = x 1 e 1 + ···+x n e n ,
∀i ∈ [[ 1 , n ]] ( x | e i ) = x i .
On adonc :
∀x ∈ Ex =
n
i = 1
( x | e i ) e i
∀ ( x , y ) ∈ E
2
( x | y ) =
n
i = 1
( x | e i )(y|e i )e t x =
n
i = 1
( x | e i ) 2
Pour s’entraîner :ex. 7et8
3.2• Existence de bases orthonormales
Théorème 5
Tout espace vectorieleuclidien possède au moins une base orthonormale.
Démonstration
Raisonnons par récurrence sur la dimension de l’espace vectoriel E.
• Si dim E = 0, la famillevide est une base orthonormale de E !
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