COURS 25
Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
Théorème 3
L’orthogonal d’unepartie X de E est un sous-espacevectoriel de E et :
Vect(X )
⊥
= X
⊥
Démonstration
X
⊥
estnon vide, car 0 ∈ X
⊥
. X
⊥
est stable par combinaison linéaire :
∀(y 1 , y 2 ) ∈ X
⊥ 2 ∀(α 1 , α 2 ) ∈ R
2
∀x ∈ X
α 1 y 1 +α 2 y 2 |x
= α 1
y 1 |x
+α 2
y 2 |x
= 0
d’où α 1 y 1 + α 2 y 2 ∈ X
⊥
. X
⊥
est donc un sous-espacevectoriel de E.
Tout vecteur orthogonalà Vect(X )e st en particulier orthogonal à X :
Vect(X )
⊥
⊂ X
⊥
. Et tout vecteur orthogonal à X est orthogonal àtoute combinaison linéaire d’éléments de X : X
⊥
⊂ Vect(X )
⊥
.
En particulier, si F est un sous-espace vectoriel, F et F
⊥
sont des sous-espaces
vectoriels orthogonaux.
2.3 • Familles orthogonales et orthonormales
Une famille (e 1 , ··· ,e p )e st dite orthogonale si ses éléments sont orthogonaux
deux àdeux, c’est-à-dire si :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , p ]]
2
i = j ⇒ ( e i | e j ) = 0
Une famille orthogonale dont aucun des vecteurs n’est nul estl ibre ;e ne ffet,
supposonsque α 1 e 1 + ···+α p e p = 0, alors :
∀i ∈ [[ 1 , p ]] ( α 1 e 1 + ···+α p e p |e i ) = α i (e i |e i ) = 0
et, comme
e i |e i
= 0, α i = 0.
Théorème 4(Relation de Pythagore)
Si (e 1 , ··· ,e p )e st une famille orthogonale :
p
i=1
e i
2
=
p
i=1
e i
2
Démonstration
En développant le produitscalaire
⎛
⎝
p
i=1
e i
p
j=1
e j
⎞
⎠ , tousles termes
e i |e j
où
i = j s’annulent.
IMPORTANT
δij est appelé symbole de Kronecker :
si i = j δij = 0
si i = j δij = 1
Unefamille (e 1 , ··· ,e p )e st dite orthonormale si seséléments sont unitaires et
orthogonaux deux àdeux, c’est-à-dire si :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , p ]]
2
( e i | e j ) = δ ij
Une famille orthonormale est donc toujours libre.
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