Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
COURS
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1.5 • Propriétés
En utilisantlabilinéarité du produit scalaire, on obtient facilement :
∀(x, y) ∈ E
2
x + y
2
= x
2
+2(x|y)+ y
2
; x−y
2
=x
2
− 2(x|y)+y
2
(x+y|x−y)=x
2
−−y
2
;( x | y ) =
1
4
( x + y
2
−−x−y
2
)
Cette dernière égalité, appelée identité de polarisation,offre l’avantage d’exprimer
un produitscalaire uniquement en termes de normes. Elle est utilisée pour démontrer des propriétés concernant le produit scalaire àpartir de propriétés concernant
les normes. (Exemple:cf. la définition d’un endomorphismeorthogonal au chapitre
suivant.)
Pour s’entraîner:ex. 3
2 Orthogonalité
2.1 • Anglededeux vecteurs
Soit x, y deux vecteurs non nuls d’un espacevectoriel réel E muni d’un produit
scalaire.D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz :
x|y
x y
∈[−1,1]
Il existe donc un réel θ unique de l’intervalle [0, π]t el que :
x|y
x y
= cos θ
θ est appelé mesuredel’angle (non orienté) des vecteurs x et y.
2.2 • Vecteurs orthogonaux
Deux vecteurs x et y sont dits orthogonaux si
x|y
= 0.
Le vecteurnul est orthogonal àtout autre vecteur. Le vecteur nul estleseul vecteur
orthogonalàlui-même. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement
si leurangle apour mesure π/2.
Deux sous-espaces vectoriels F et G sont dits orthogonaux si :
∀x ∈ F ∀y ∈ G
x|y
= 0
Il est clair qu’onaalors : F ∩ G = {0}.
Soit X une partie quelconque de E. On appelle orthogonal de X l’ensemble,
noté X
⊥
, desvecteurs de E orthogonauxàtous les éléments de X :
X
⊥
= {y ∈ E , ∀x ∈ X
y|x
= 0}
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