COURS 25
Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
Démonstration
• Si y = 0( x | y )
2
= 0e t( y | y ) = 0 ,d’où l’égalité.
• Si y = 0, observonsque ∀λ ∈ R (x + λy|x + λy) 0 , c’est-à-dire :
(x|x)+2λ(x|y)+λ
2
(y|y)0a vec( y | y ) = 0
On reconnaît un trinôme du second degré en λ qui garde un signe constant :ila
au plus une racine réelle, son discriminant est donc négatif :
Δ
= (x|y)
2
− (x|x)(y|y) 0
En cas d’égalité, soit y = 0e ti le st colinéaire à x, soit y
= 0e tΔ
=0 ,
le trinôme précédent possède alors une racine double λ 0 , qui vérified onc
(x + λ 0 y|x + λ 0 y) = 0d ’où x + λ 0 y = 0; x et y sont liés.
Réciproquement, si x et y sont liés, soit y = 0, soit ∃λ ∈ R x + λy = 0.
Dans lesdeux cas l’égalité est vérifiée.
1.4 • Normeeuclidienne
Dans un espace vectorielréel E, on appelle norme toute application N de E
dans R telle que :
1) ∀x ∈ EN ( x ) 0;
2) ∀x ∈ EN ( x ) = 0 ⇔ x = 0;
3) ∀λ ∈ R ∀x ∈ EN ( λ x ) = | λ | N ( x );
4) ∀(x, y) ∈ E
2
N (x + y) N (x)+N(y).
IMPORTANT
Il existe des normesq ui ne proviennent pas d’un produit scalaire.
Ellesf ont l’objet de l’étude des «espaces vectoriels normés ».
Une norme permet de définir une
distance :
d (x, y) = x − y
Elle donned onc accès aux propriétés topologiques de «voisinages », «limites », «continuité », etc.
Il existe des distances qui ne proviennent pas d’une norme. Elles font
l’objetd el ’étude des «espaces métriques », quin’est pasauprogramme.
Théorème 2
Soit E un espace vectorielréel muni d’un produit scalaire.
L’applicationde E dans R définie par :
x =
(x|x)e st une norme,
appelée normeeuclidienne associée au produit scalaire.
Démonstration
Les points 1) et 2) figurent dans la définition du produit scalaire.
3) λ x =
(λx|λx) =
λ 2 (x|x) = |λ|
(x|x) = |λ||x
4) x + y
2
= (x + y|x + y) = (x|x)+2(x|y)+(y|y)=x
2
+2 ( x | y )+ y
2
( x+y )
2
= x
2
+2 x y + y
2
D’après Cauchy-Schwarz, (x|y) x y ;d ’où x+y
2
( x + y )
2
et
x + y x + y .
(L’égalité est vérifiée si et seulement si x et y sont colinéaires et de même sens.)
Un vecteur u est dit unitaire s’ilest de norme 1: u=1.
Pour tout vecteur x non nul,ilexiste deux vecteurs unitaires colinéaires à x :
x
x
et −
x
x
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Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
Démonstration
• Si y = 0( x | y )
2
= 0e t( y | y ) = 0 ,d’où l’égalité.
• Si y = 0, observonsque ∀λ ∈ R (x + λy|x + λy) 0 , c’est-à-dire :
(x|x)+2λ(x|y)+λ
2
(y|y)0a vec( y | y ) = 0
On reconnaît un trinôme du second degré en λ qui garde un signe constant :ila
au plus une racine réelle, son discriminant est donc négatif :
Δ
= (x|y)
2
− (x|x)(y|y) 0
En cas d’égalité, soit y = 0e ti le st colinéaire à x, soit y
= 0e tΔ
=0 ,
le trinôme précédent possède alors une racine double λ 0 , qui vérified onc
(x + λ 0 y|x + λ 0 y) = 0d ’où x + λ 0 y = 0; x et y sont liés.
Réciproquement, si x et y sont liés, soit y = 0, soit ∃λ ∈ R x + λy = 0.
Dans lesdeux cas l’égalité est vérifiée.
1.4 • Normeeuclidienne
Dans un espace vectorielréel E, on appelle norme toute application N de E
dans R telle que :
1) ∀x ∈ EN ( x ) 0;
2) ∀x ∈ EN ( x ) = 0 ⇔ x = 0;
3) ∀λ ∈ R ∀x ∈ EN ( λ x ) = | λ | N ( x );
4) ∀(x, y) ∈ E
2
N (x + y) N (x)+N(y).
IMPORTANT
Il existe des normesq ui ne proviennent pas d’un produit scalaire.
Ellesf ont l’objet de l’étude des «espaces vectoriels normés ».
Une norme permet de définir une
distance :
d (x, y) = x − y
Elle donned onc accès aux propriétés topologiques de «voisinages », «limites », «continuité », etc.
Il existe des distances qui ne proviennent pas d’une norme. Elles font
l’objetd el ’étude des «espaces métriques », quin’est pasauprogramme.
Théorème 2
Soit E un espace vectorielréel muni d’un produit scalaire.
L’applicationde E dans R définie par :
x =
(x|x)e st une norme,
appelée normeeuclidienne associée au produit scalaire.
Démonstration
Les points 1) et 2) figurent dans la définition du produit scalaire.
3) λ x =
(λx|λx) =
λ 2 (x|x) = |λ|
(x|x) = |λ||x
4) x + y
2
= (x + y|x + y) = (x|x)+2(x|y)+(y|y)=x
2
+2 ( x | y )+ y
2
( x+y )
2
= x
2
+2 x y + y
2
D’après Cauchy-Schwarz, (x|y) x y ;d ’où x+y
2
( x + y )
2
et
x + y x + y .
(L’égalité est vérifiée si et seulement si x et y sont colinéaires et de même sens.)
Un vecteur u est dit unitaire s’ilest de norme 1: u=1.
Pour tout vecteur x non nul,ilexiste deux vecteurs unitaires colinéaires à x :
x
x
et −
x
x
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