Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens
COURS
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1 Produit scalaire
1.1 • Définition
Soit E un espace vectoriel sur le corps des réels.
On appelle produits calaire sur E une forme bilinéaire symétrique définie
positive,c’est-à-dire une application notée
E × E →
R
(x, y)
→ (x|y)
:
• bilinéaire. Pour tousréels α 1 , α 2 , β 1 , β 2 et pour tous vecteurs x, x 1 , x 2 , y, y 1 , y 2 :
(α 1 x 1 + α 2 x 2 | y) = α 1 (x 1 |y)+α 2 (x 2 |y)
(x|β 1 y 1 +β 2 y 2 ) = β 1 (x|y 1 )+β 2 (x|y 2 )
• symétrique
∀(x, y) ∈ E
2
(y|x) = (x|y);
• définie positive
∀x ∈ E (x|x) 0e t( x | x ) = 0 ⇔ x = 0 .
1 . 2 • Exemples
IMPORTANT
Nous verronsa up aragraphe 3.1 que
tout produitscalaire sur un espace vectoriel réel de dimensionf inie est de
cette forme dans certaines bases particulières, dites orthonormales.
1) E = R
n
si x = (x 1 , ··· ,x n )e ty=( y 1 , ··· ,y n )( x | y ) =
n
k = 1
x k y k
Il est facile de vérifier qu’il s’agit bien d’un produit scalaire.
Il yacependant d’autres produits scalaires possibles sur R
n
;p ar exemple, l’application définie par (x|y) =
n
k=1
kx k y k .
2) E = C([a, b], R)( f | g ) =
b
a
f ( t ) g ( t )dt
Cette application estclairement bilinéaire symétrique. Elle est définie positive, car,
pour toute fonction f ∈ E :
b
a
f (t)
2
dt 0e t
b
a
f ( t )
2
d t = 0 ⇒ f = 0
(car f
2
est positive et continue).
Pour s’entraîner:ex. 2
1.3 • Inégalité de Cauchy-Schwarz
Théorème 1
Soit E un espace vectorielréel muni d’un produit scalaire.
∀(x, y) ∈ E
2
(x|y)
2
(x|x)(y|y)
L’égalité estvérifiée si et seulement si x et y sont colinéaires.
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