Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Une application bilinéaire sur E est une application
linéaire sur E
2
.
b) Une application trilinéaire alternée est invariante par
toute permutation circulaire des variables.
c) Le déterminant d’un endomorphisme dépend de la base
dans laquelle on le représente.
d) Deux matrices carréesé quivalentes ont le même déterminant.
e) Deux matrices carrées semblables ontlemême déterminant.
f) Pour toute matrice carrée A d’ordre n 3:
Det(−A) = −Det(A).
g) On ne change pasu nd éterminant en mutipliant une
ligne par un scalaire non nul.
Déterminants d’ordre 3
2 Calculer les déterminants :
a)
1 j
2
j
j 1 j
2
j
2
j 1
b)
111
cos a cos b cos c
sin a sin b sin c
c)
1c os a cos2a
cos a cos 2a cos 3a
cos 2a cos 3a cos 4a
d)
1c os a cos2a
1c os b cos2b
1c os c cos2c
e)
111
abc
a
2
b
2
c
2
f)
a
2
b
2
c
2
(a+1)
2
(b+1)
2
(c+1)
2
(a+2)
2
(b+2)
2
(c+2)
2
3 Soit E un K-espace vectoriel de dimension3muni
d’une base b = (e 1 , e 2 , e 3 ).
Calculer Det b (e 2 + e 3 , e 3 + e 1 , e 1 + e 2 ).
4 Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3muni
d’une base b = (e 1 , e 2 , e 3 )e tλun élément de K. Calculer Det b (e 1 + λe 2 , e 2 + λe 3 , e 3 + λe 1 ).
Déterminant d’un endomorphisme
ou d’unematrice carrée
5 E est un espace vectoriel de dimension 3, F et G
deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E. On
désignepar p la projection sur F parallèlementà G, et
par s la symétrie par rapport à F parallèlementà G .
Discuter suivant les dimensions de F et G les valeurs des
déterminants de p et s.
6 Àtout polynôme réel P de degré inférieur ou égal à
2, on associelepolynôme Q tel que :
∀x ∈ R Q(x) =
x+1
x
P(t)dt
Montrer que l’application P
→ Q est un endomorphisme
de R 2 [X ]e tc alculer le déterminant de cet endomorphisme.
7 Montrer qu’une matrice carrée antisymétrique
d’ordre 3n’est jamais inversible.
8
∗ Soit B ∈M 3 (K)t elle que : B
2
= 0e tB
3
=0 .
1) Déterminer une matrice très simple semblable à B.
2) Démontrer que Det(I 3 + B) = 1.
3) Démontrer que pour toute matrice carrée A d’ordre3
qui commute avec B :
Det(A + B) = Det(A)
(On pourra distinguer deux cas suivant que Ae st inversible
ou non.)
Formules de Cramer
9 Résoudre les systèmes :
a)
x − 2y = 5
2x +3y=−2
b)
⎧
⎨
⎩
3x + y − z = 1
x − 3y +2z=2
x−3z=−1
c)
⎧
⎨
⎩
ax − y + z = 1
x + ay − z = 1
−x + y + az = 1
(a ∈ R
∗
)
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1 Vraioufaux ?
a) Une application bilinéaire sur E est une application
linéaire sur E
2
.
b) Une application trilinéaire alternée est invariante par
toute permutation circulaire des variables.
c) Le déterminant d’un endomorphisme dépend de la base
dans laquelle on le représente.
d) Deux matrices carréesé quivalentes ont le même déterminant.
e) Deux matrices carrées semblables ontlemême déterminant.
f) Pour toute matrice carrée A d’ordre n 3:
Det(−A) = −Det(A).
g) On ne change pasu nd éterminant en mutipliant une
ligne par un scalaire non nul.
Déterminants d’ordre 3
2 Calculer les déterminants :
a)
1 j
2
j
j 1 j
2
j
2
j 1
b)
111
cos a cos b cos c
sin a sin b sin c
c)
1c os a cos2a
cos a cos 2a cos 3a
cos 2a cos 3a cos 4a
d)
1c os a cos2a
1c os b cos2b
1c os c cos2c
e)
111
abc
a
2
b
2
c
2
f)
a
2
b
2
c
2
(a+1)
2
(b+1)
2
(c+1)
2
(a+2)
2
(b+2)
2
(c+2)
2
3 Soit E un K-espace vectoriel de dimension3muni
d’une base b = (e 1 , e 2 , e 3 ).
Calculer Det b (e 2 + e 3 , e 3 + e 1 , e 1 + e 2 ).
4 Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3muni
d’une base b = (e 1 , e 2 , e 3 )e tλun élément de K. Calculer Det b (e 1 + λe 2 , e 2 + λe 3 , e 3 + λe 1 ).
Déterminant d’un endomorphisme
ou d’unematrice carrée
5 E est un espace vectoriel de dimension 3, F et G
deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E. On
désignepar p la projection sur F parallèlementà G, et
par s la symétrie par rapport à F parallèlementà G .
Discuter suivant les dimensions de F et G les valeurs des
déterminants de p et s.
6 Àtout polynôme réel P de degré inférieur ou égal à
2, on associelepolynôme Q tel que :
∀x ∈ R Q(x) =
x+1
x
P(t)dt
Montrer que l’application P
→ Q est un endomorphisme
de R 2 [X ]e tc alculer le déterminant de cet endomorphisme.
7 Montrer qu’une matrice carrée antisymétrique
d’ordre 3n’est jamais inversible.
8
∗ Soit B ∈M 3 (K)t elle que : B
2
= 0e tB
3
=0 .
1) Déterminer une matrice très simple semblable à B.
2) Démontrer que Det(I 3 + B) = 1.
3) Démontrer que pour toute matrice carrée A d’ordre3
qui commute avec B :
Det(A + B) = Det(A)
(On pourra distinguer deux cas suivant que Ae st inversible
ou non.)
Formules de Cramer
9 Résoudre les systèmes :
a)
x − 2y = 5
2x +3y=−2
b)
⎧
⎨
⎩
3x + y − z = 1
x − 3y +2z=2
x−3z=−1
c)
⎧
⎨
⎩
ax − y + z = 1
x + ay − z = 1
−x + y + az = 1
(a ∈ R
∗
)
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