Déterminants d’ordre 2ou3
Exercice résolu
DÉTERMINANT DE VANDERMONDE
1 Calculer le déterminant :
D(a, b, c) =
111
abc
a
2
b
2
c
2
où a, b, cs ont trois scalaires quelconques.
2 Résoudre le système:
⎧
⎨
⎩
x + y + z = 1
ax + by + cz = d
a
2
x + b
2
y + c
2
z = d
2
où a, b, cs ont supposés distincts deux àdeux.
Conseils
Solution
Remarquer que le déterminant s’annule
lorsqu’au moins deux des trois scalaires
a, b, c sontégaux.
1) Il est clair que D(a, b, c)e st nul lorsque deux des scalaires a, b, c sont
égaux. Supposons-lesmaintenant distincts deux àdeux. Remplaçons c par
une indéterminée X . L’expression P(X ) = D(a, b, X )e st un polynôme
de degréinférieur ou égal à2,qui admet a, b pour racines.
On peut donc écrire :
P(X ) = λ(X − a)(X − b)
En particulier, D(a, b, c) = λ(c − a)(c − b)
λ est le coefficient de X
2
dans le polynôme P(X ), c’est-à-dire: λ=
b−a . D’où :
D(a, b, c) = (b − a)(c − a)(c − b)
Utiliser les formules de Cramer.
2) Appliquons les formules de Cramer :
x =
D(d, b, c)
D(a, b, c)
=
(b − d)(c − d)
(b − a)(c − a)
y =
D(a, d, c)
D(a, b, c)
=
(d − a)(c − d)
(b − a)(c − b)
z =
D(a, b, d)
D(a, b, c)
=
(d − a)(d − b)
(c − a)(c − b)
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