Déterminants d’ordre 2ou3
Exemples :
1) Avec n = 2;résolvons le système
2x + y = 5
x +4y=6
x=
51
64
21
14
= 2
y =
25
16
21
14
= 1
2) Avec n = 3;résolvons le système
⎧
⎨
⎩
2x − y + z = 0
x − 2y − z = 3
3x + y +2z = 1
x=
0 −11
3 − 2 − 1
11
2
2 − 11
1 − 2 − 1
31
2
= 2
y =
20 1
13− 1
31 2
2− 11
1 − 2 − 1
31
2
= 1
z =
2 − 10
1− 23
311
2 − 11
1 − 2 − 1
31
2
= − 3
Pour s’entraîner :ex. 9
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour calculer un déterminant d’ordre 2,onapplique la définition :
ac
bd
= ad − bc
Pour calculer un déterminant d’ordre 3,onpeut:
• utiliser la règle de Sarrus (cf. exercice 2 ) ;
• développer en utilisant le caractère trilinéaire alternédudéterminant (cf. exercices 3 et 4 ).
Pour exprimer que trois vecteurs sont coplanaires,onpeut:
écrire que leur déterminant dans une base donnée estnul.
Pour calculer le déterminant d’un endomorphisme,onpeut:
choisir une base et représenter l’endomorphisme par une matrice carrée (cf. exercices 5 et 6 ).
Pour exprimer qu’une matricecarrée d’ordre 3est inversible,onpeut:
écrire que son déterminant est non nul (cf. exercices 7 et 8 ).
Pour résoudre un système linéairede n équations à n inconnuesderang n ,onpeut:
utiliser les formules de Cramer (cf. exercice 9 ).
...................................................................................................................................................................................................
444
Exemples :
1) Avec n = 2;résolvons le système
2x + y = 5
x +4y=6
x=
51
64
21
14
= 2
y =
25
16
21
14
= 1
2) Avec n = 3;résolvons le système
⎧
⎨
⎩
2x − y + z = 0
x − 2y − z = 3
3x + y +2z = 1
x=
0 −11
3 − 2 − 1
11
2
2 − 11
1 − 2 − 1
31
2
= 2
y =
20 1
13− 1
31 2
2− 11
1 − 2 − 1
31
2
= 1
z =
2 − 10
1− 23
311
2 − 11
1 − 2 − 1
31
2
= − 3
Pour s’entraîner :ex. 9
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour calculer un déterminant d’ordre 2,onapplique la définition :
ac
bd
= ad − bc
Pour calculer un déterminant d’ordre 3,onpeut:
• utiliser la règle de Sarrus (cf. exercice 2 ) ;
• développer en utilisant le caractère trilinéaire alternédudéterminant (cf. exercices 3 et 4 ).
Pour exprimer que trois vecteurs sont coplanaires,onpeut:
écrire que leur déterminant dans une base donnée estnul.
Pour calculer le déterminant d’un endomorphisme,onpeut:
choisir une base et représenter l’endomorphisme par une matrice carrée (cf. exercices 5 et 6 ).
Pour exprimer qu’une matricecarrée d’ordre 3est inversible,onpeut:
écrire que son déterminant est non nul (cf. exercices 7 et 8 ).
Pour résoudre un système linéairede n équations à n inconnuesderang n ,onpeut:
utiliser les formules de Cramer (cf. exercice 9 ).
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